Ну короче начинаем. Уравнения с параметром решаются методом перебора возможных случаев.

1)Сложность у нас вызывает то, что параметр находится при переменной x², значит, утверждать о том. что это уравнение квадратное, нельзя.

Тогда предполагаем, если t+1 = 0, то уравнение не является квадратным. Отсюда следует, что t = -1

 При этом параметре, уравнение является линейным. которое уже по определению имеет один корень.

2)рассмотрю случай, когда t+1 ≠0 Тогда данное уравнение по логике вещей является квадратным. По условию нам нужно. чтобы уравнение имело один корень. А квадратное уравнение имеет один корень, если его дискриминант = 0. Выделя дискриминант из этого уравнения. Выпишу сначала значения коэффициентов:

a = t+1 ; b = t;c = -1

D = b² - 4ac = t² + 4(t+1)

D = 0    t² + 4t+4 = 0 - надо решить квадратное уравнение

По теореме Виета нахожу его корни:

t1 = -2;t2 = -2

Значит, при t = -2 данное уравнение также будет иметь один корень.

3)У нас есть ещё один случай, когда t = 0, так как второй коэффициент его содержит.

Тогда получим уравнение x² - 1 = 0, оно также имеет 2 корня. Нам это значение не подходит по условию. Значит, уравнение с параметром имеет один корень при t = -1; t = -2. Задача решена