В четырехугольнике ABCD известно, что AD∥BC, AD=24, BC=9. Биссектриса угла CAD пересекает диагональ BD в ее середине. Найдите длину другой диагонали AC.
1) Достроим медиану АМ треугольника АВD до пересечения с прямой ВС в точке Е →
угол EBD = угол ABD – как накрест лежащие углы при параллельных прямых ВЕ и AD и секущей BD угол BME = угол АМD – как вертикальные углы ВМ = MD – по условию
Значит, ∆ ВМЕ = ∆ АМD по стороне и двум прилежащими углам
В равных треугольниках соответственно равные элементы: стороны и углы → АМ = МЕ , но по условию BM = MD Значит, диагонали четырёхугольника АВЕD пересекаются и точкой пересечения делятся пополам Также можно было бы заметить следующее: ВС || АD и ВС = AD → В четырёхугольнике АВЕD две стороны параллельны и они же равны
Из всего этого следует, что четырёхугольник АВЕD – параллелограмм
( Можно было бы это не рассматривать, главное то, что ∆ ВМЕ = ∆ AMD )
2) угол СЕА = угол ЕАD – как накрест лежащие углы при параллельных прямых СЕ и AD и секущей АЕ угол САЕ = угол ЕАD – по условию
Значит, угол САЕ = угол СЕА → ∆ САЕ – равнобедренный, !!! АС = СЕ !!!
ВЕ = AD = 24 BE = BC + CE 24 = 9 + CE CE = 24 - 9 = 15
Answers & Comments
Verified answer
А мы пойдём другим способом:
1) Достроим медиану АМ треугольника АВD до пересечения с прямой ВС в точке Е →
угол EBD = угол ABD – как накрест лежащие углы при параллельных прямых ВЕ и AD и секущей BD
угол BME = угол АМD – как вертикальные углы
ВМ = MD – по условию
Значит, ∆ ВМЕ = ∆ АМD по стороне и двум прилежащими углам
В равных треугольниках соответственно равные элементы: стороны и углы →
АМ = МЕ , но по условию BM = MD
Значит, диагонали четырёхугольника АВЕD пересекаются и точкой пересечения делятся пополам
Также можно было бы заметить следующее:
ВС || АD и ВС = AD →
В четырёхугольнике АВЕD две стороны параллельны и они же равны
Из всего этого следует, что четырёхугольник АВЕD – параллелограмм
( Можно было бы это не рассматривать, главное то, что ∆ ВМЕ = ∆ AMD )
2) угол СЕА = угол ЕАD – как накрест лежащие углы при параллельных прямых СЕ и AD и секущей АЕ
угол САЕ = угол ЕАD – по условию
Значит, угол САЕ = угол СЕА →
∆ САЕ – равнобедренный, !!! АС = СЕ !!!
ВЕ = AD = 24
BE = BC + CE
24 = 9 + CE
CE = 24 - 9 = 15
ОТВЕТ: СЕ = 15