Verified answer

в цилиндр высотой 14 вписана треугольная призма АВСА1В1С1, АС1=7*корень7, высота призмы СС1=высота цилиндра=14, в основании призмы равносторонний треугольник АВС,

треугольник АС1С прямоугольный, АС=корень(АС1 в квадрате-С1С в квадрате)=корень(343-196)=корень147, рассматриваем треугольник АВС как вписанный в окружность,

радиус описанной окружности=АС*корень3/3=корень(147*3) /3=21/3=7, диаметр описанной окружности=радиус*2=7*2=14 = диаметр основания цилиндра