В компании из 7 человек любые 6 могут сеть так, что 2 соседа (из 2) им знакомы.
Докажите, что так можно уместить 7 человек!!! (Нам неизвестно скольких 7 человек знает людей!!!!!) (СТОЛ КРУГЛЫЙ!!!!) 50 БАЛЛОВ!!!!!!!
Докажите, что так можно уместить 7 человек!!! (Нам неизвестно скольких 7 человек знает людей!!!!!) (СТОЛ КРУГЛЫЙ!!!!) 50 БАЛЛОВ!!!!!!!
Answers & Comments
Verified answer
Рассмотрим Иннокентия, который входит в эту компанию. Рассадим за столом его и еще 5 человек. Он будет сидеть рядом со своими знакомыми - Эммануилом и Пересветом. Теперь рассадим всех, кроме Эммануила. У Иннокентия по-прежнему найдётся 2 знакомых соседа, даже если один из них Пересвет, то второй - новый, Святозар. Поэтому у Иннокентия (как и любого другого человека из этой компании) не меньше трёх друзей.Подсчитаем число знакомых для каждого участника компании. Без ограничения общности можно считать, что Иннокентий знает больше всего людей.
Докажем, что Иннокентий знает не менее 4 людей. Действительно, пусть он знает меньшее число людей, т.е. 3. Подсчитаем общее число знакомых пар. Каждый из 7 человек знает троих, тогда всего пар 3 * 7 / 2 - не целое число, противоречие. Значит, Иннокентий знает не менее четырёх людей.
Рассадим за столов всех, кроме Иннокентия. Иннокентий знает каких-то двух сидящих рядом (в противном случае знакомых Иннокентия было бы не больше 3 - 3 достигается, если знакомые и незнакомые сидят через одного). Иннокентий может сесть между ними, и условие задачи будет выполнено.