В конус с углом φ при вершине осевого сечения и радиусом основания r вписана сфера радиуса R (т. е. сфера касается основания конуса и каждой его образующей, рис. 158, а). Найдите: а) r, если известны R и φ; б) R, если известны r и φ;
Помогите, расписывая досконально до мелочей
Помогите, расписывая досконально до мелочей
Answers & Comments
Verified answer
Ответ:
а) r = R · ctg(45° - φ/4)
б) R = r · tg(45° - φ/4)
Объяснение:
ΔABC - осевое сечение конуса, вписанная в него окружность - сечение сферы, проходящее через центр.
ΔАВС равнобедренный, значит
∠С = ∠А = (180° - φ)/2 = 90° - φ/2
Центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечения биссектрис, значит СО - биссектриса ∠АСВ, ⇒
∠ОСН = 1/2 ∠С = 1/2 (90° - φ/2) = 45° - φ/4
Рассмотрим треугольник ОСН:
∠ОНС = 90°,
tg∠OCH = R / r
а) r = R / tg(45° - φ/4) = R · ctg(45° - φ/4)
б) R = r · tg(45° - φ/4)