Verified answer

Покажем, что количество используемых цветов не может быть больше 9. По условию в каждом прямоугольнике размером 1 на 3 клетки имеются две клетки одинакового цвета. Заметим, что в каждой строке и каждом столбце квадрата 4 на 4 клетки есть два таких прямоугольника, а это означает, что количество различных цветов в каждой строке и каждом столбце квадрата ≤ 3. Предположим противное и допустим, что количество используемых цветов > 9 и равно, к примеру, 10. Пусть в каждой строке и каждом столбце квадрата 4 на 4 клетки имеются три различных цвета. Но, тогда найдется такая строка и такой столбец, в которых будет 4 различных цвета, а это значит что в них не найдется прямоугольника размером 1 на 3 клетки с двумя клетками одинакового цвета. Приходим к противоречию, значит количество используемых цветов не может быть больше 9 и максимальное количество цветов равно 9. Пример раскраски с девятью цветами изображен на рисунке.

Ответ: 9 цветов.