Пусть АВСD - данный квадрат.

Точка Е - середина АВ,

М - середина ВС,

К - середина СD,

Р - середина АD.

Докажем, что ЕМКР имеет форму  квадрата.

Рассмотрим ΔЕВМ: ∠В = 90° (так как у квадрата все углы по 90°).

ВЕ = ВМ (так как это половины равных сторон квадрата).

Таким образом, треугольник равнобедренный.

Итак мы получаем, что ∠Е=∠М = (180° - 90°) : 2 = 45°.

Аналогично доказывается, что в ΔАЕР ∠Е и ∠Р равны 45°.

Значит, ∠АЕР + ∠РЕМ + ∠ВЕМ = 180° (это развернутый ∠АВ).

45° + ∠РЕМ + 45° = 180°.

∠РЕМ = 90°.

Так как ΔАЕР, ΔЕВМ, ΔМСК и ΔКDР равны, значит, у четырехугольника ЕМКР все уголы равны 90°.

Пусть сторона квадрата АВСD равна а, тогда его площадь будет равна квадрату стороны:

S(АВСD) = а².

S квадрата ЕМКР будет равна квадрату стороны, например ЕМ.  

S(ЕМКР) = ЕМ².

Рассмотрим ΔЕВМ (∠ В = 90°), по теореме Пифагора:

ЕМ² = EB² + BM². ЕВ и ВМ равны половине стороны квадрата, то есть а/2.

ЕМ² = (а:2)² + (а:2)² = а²:4 + a²:4 = 2a²:4 = a²:2.

Значит, S(ЕМКР) = a²:2, то есть в два раза меньше площади АВСD.