HT пересекает BC в точке D.

AT пересекает описанную окружность в точке E.  

Отрезок AC виден из точек H и T под прямым углом - A H T С на одной окружности.

CHT=CAT (опираются на дугу CT)

CAE=CBE (опираются на дугу CE)

ABE=90 (опирается на диаметр AE) =AHC => BE || HC

CBE=BCH (накрест лежащие)

CHT=BCH => △HDC - равнобедренный, HD=DC

HBC =90-BCH =90-CHD =BHD => △HDB - равнобедренный, HD=BD

BD=DC, прямая HT делит отрезок BC пополам.