В параллелепипеде  ABCDA1B1C1D1 проведены два сечения. Первое – через ребро BC и середину ребра  AA1 ,второе – через ребро AA1 и точку M на ребре CD. Отрезок, по которому пересекаются эти сечения, делит каждое из них на две части, отношение площадей которых одинаково для обоих сечений. Найдите отношение CM:CD .

Объяснение:

Первое сечение, параллелограмм ВСК₁К, пересекает DD₁ в точке К₁: DK₁ = K₁D .

Пусть S₁ — площадь ΔКРК ₁  ,S₂ —площадь трапеции КРСВ. Их высоты равны расстоянию межу сторонами KB и K₁C, пусть равны h.

Второе сечение ,параллелограмм AММ₁A₁ .  

Линия пересечения сечений  отрезок КР .

Пусть S₃ — площадь трапеции  АМРК , S₄ —площадь трапеции КРМ₁А₁

Их высоты равны расстоянию межу сторонами АА₁ и ММ₁ ,пусть равны H.    Пусть  CМ = a; CD = в.

ΔCDК₁ ~ΔСМР по двум углам⇒все сходственные стороны пропорциональны:

1) РС/К₁Р=а/(в-а)   , К₁Р=РС*(в-а)/а.

2)РС/К₁С=а/в        , К₁С=РС*в/а.

3)К₁D/РМ=в/а        , К₁D=РМ*в/а.

Выразим площади.  

1)Δ КРК  : S₁ = 0,5*h* К₁Р=( 0,5h*РС*(в-а))/а  .

2) Трапеция КРСВ , КВ= К₁С :

S₂ = 0,5*h*(РС+КВ)= 0,5*h*РС*((а+в)/а).

3) Трапеция  АМРК , КА=К₁D :

S₃  = 0,5*H*(РМ+КА)= 0,5*H*РМ*((а+в)/а);

4) Трапеция КРМ₁А₁ , КА₁=К₁D,  РМ₁=ММ₁-РМ=АА₁ -РМ=2К₁D-РМ  :  

S₄=0,5*H*(РМ*в/а+(2РМ*в)/а+РМ)=0,5Н*РМ((3в+а)/а)  .

Найдем отношение площадей  :

S1/S2 = (в–a)/(в + a)=(3в ²-4ав+а²):((в+а)(3в-а))

S3/S4 = (в+a)/(3в–a)= (в ²+2ав+в²):((в+а)(3в-а)) .

Т.к. отношение площадей одинаково для обоих сечений, то  

3в²-4ав+а²= в²+2ав+в²,

2в²-6ав=0  ,в=3а ,  а:в=1:3,  (CМ=a; CD=в)

СМ:СD=1:3