Verified answer

В условии не хватает слов "параллельно АС". В противном случае задача не имеет решения (точнее одного решения, сами по себе решения есть, но - не интересные :) одно из них - треугольник MBD).

Пусть b=8; a = 4; О - центр основания, МО - высота пирамиды, сечение пересекает MD в точке Q (MQ = QD), МС в точке Р, MA - в точке G, МО в точке К. Надо найти площадь четырехугольника BGQP. 

Плоскость сечения II АС, поэтому GP II AC, откуда MG/GA = МК/КО = MP/PC = 2/1; поскольку BQ и MO - медианы, и К - точка пересечения медиан треугольника MBD.

то есть 

GP = (2/3)*AC = a*2√2/3; (из подобия треугольников AMC и GMP)

И еще, поскольку у квадрата диагонали перпендикулярны, AC перпендикулярно плоскости треугольника MDB, откуда следует, что GP перпендикулярно BQ, то есть площадь S четырехугольника BGQP равна S = BQ*GP/2;

Остается найти медиану m = BQ равнобедренно треугольника MDB с боковыми сторонами MD = MB = b = 8; и основанием BD = a√2; (a = 4);

(2*m)^2 = 2(a√2)^2 + b^2;

m = (1/2)*√(4*a^2 + b^2);

S = (1/2)*(a*2√2/3)*(1/2)*√(4*a^2 + b^2) = (1/6)*a*√(8*a^2 + 2*b^2);

ну и надо подставить числа.

если b = 2*a, то S = (2/3)*a^2 = 32/3;

27.04.2015

Мне предложили тут что-то изменить. Якобы ответ должен быть в 2 раза меньше. Я очень буду рад, если мне предложат грамотный анализ решения. Но я могу показать на пальцах, что ответ верный. Это как раз очень просто. В сечении получается дельтоид, у которого одна из диагоналей BQ = BD; а вторая - GP = (2/3)*AC; отсюда мгновенно понятно, что площадь сечения составляет 2/3 площади основания. 

(площадь сечения) = BQ*GP/2 = (2/3)*BD*AC/2 = (2/3)*(площади основания) = (2/3)*4^2 = = 2*16/3 = 32/3; 

любые попытки найти тут ошибку могут вызвать только улыбку :))))