в правильной четырёхугольной призме ABCDA1D1C1D1 стороны основания равны 2,а боковые ребра равны 3. На ребре АА1 отмечена точка Е так, что АЕ:ЕА1=1:2. Найдите угол между плоскостями АВС и ВЕD1
Угол между двумя пересекающимися плоскостями равен углу между прямыми, по которым они пересекаются с любой плоскостью, перпендикулярной их линии пересечения. Найдем линию пересечения плоскостей АВС и ВЕD1, к которой надо провести перпендикулярную плоскость. Для начала построим сечение BED1. Точки Е и В лежат в грани АA1В1В, следовательно ЕВ - линия пересечения этой грани и секущей плоскости. Точки Е и D1 лежат в грани АA1D1D, следовательно ЕD1 - линия пересечения этой грани и секущей плоскости. Зная, что параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью по параллельным прямым, проводим ВР параллельно ED1 и D1Р параллельно ЕВ. Параллелограмм ВЕD1P - искомое сечение. Продлив прямую D1E до пересечения с продолжением ребра DA, получим точку F, принадлежащую и плоскости АВС (прямая AD принадлежит плоскости АВС) и секущей плоскости BED1 (D1E принадлежит плоскости BED1). Линия пересечения плоскостей BED1 и АВС проходит через точку В (дано). Поэтому, соединив точки F и В получим искомую линию пересечения. Теперь проведем плоскость, перпендикулярную этой линии пересечения. Для этого опустим перпендикуляр АН на FB. Плоскость AFH - искомая плоскость, так как прямая ЕА перпендикулярна плоскости АВС, а прямая ЕН перпендикулярна FB по теореме о трех перпендикулярах (АН - проекция наклонной ЕН). Искомый угол между плоскостями - это <AHE (по определению). Треугольник AFE подобен треугольнику DFD1 с коэффициентом подобия k=AE:DD1=1:3. тогда AF/FD=AF/(AF+AD)=AF/(AF+2)=1/3. Отсюда AF=1. В прямоугольном треугольнике AFB (<A=90 - дано) по Пифагору FB=√(AF²+AB²)= √(1+4)=√5. АH=AF*AB/FB (свойство высоты из прямого угла). АH=1*2/√5 = 2/√5. Тангенс искомого угла равен tg(AHE)=AE/AH = 1/(2/√5) = √5/2 ≈1,12 Ответ: α = arctg(1,12) ≈ 48,2°.
Answers & Comments
Verified answer
Угол между двумя пересекающимися плоскостями равен углу между прямыми, по которым они пересекаются с любой плоскостью, перпендикулярной их линии пересечения.Найдем линию пересечения плоскостей АВС и ВЕD1, к которой надо провести перпендикулярную плоскость.
Для начала построим сечение BED1.
Точки Е и В лежат в грани АA1В1В, следовательно ЕВ - линия пересечения этой грани и секущей плоскости.
Точки Е и D1 лежат в грани АA1D1D, следовательно ЕD1 - линия пересечения этой грани и секущей плоскости.
Зная, что параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью по параллельным прямым, проводим ВР параллельно ED1 и D1Р параллельно ЕВ. Параллелограмм ВЕD1P - искомое сечение.
Продлив прямую D1E до пересечения с продолжением ребра DA, получим точку F, принадлежащую и плоскости АВС (прямая AD принадлежит плоскости АВС) и секущей плоскости BED1 (D1E принадлежит плоскости BED1). Линия пересечения плоскостей BED1 и АВС проходит через точку В (дано). Поэтому, соединив точки F и В получим искомую линию пересечения.
Теперь проведем плоскость, перпендикулярную этой линии пересечения.
Для этого опустим перпендикуляр АН на FB. Плоскость AFH - искомая плоскость, так как прямая ЕА перпендикулярна плоскости АВС, а прямая ЕН перпендикулярна FB по теореме о трех перпендикулярах (АН - проекция наклонной ЕН).
Искомый угол между плоскостями - это <AHE (по определению).
Треугольник AFE подобен треугольнику DFD1 с коэффициентом подобия k=AE:DD1=1:3. тогда AF/FD=AF/(AF+AD)=AF/(AF+2)=1/3.
Отсюда AF=1. В прямоугольном треугольнике AFB (<A=90 - дано) по Пифагору FB=√(AF²+AB²)= √(1+4)=√5. АH=AF*AB/FB (свойство высоты из прямого угла). АH=1*2/√5 = 2/√5.
Тангенс искомого угла равен
tg(AHE)=AE/AH = 1/(2/√5) = √5/2 ≈1,12
Ответ: α = arctg(1,12) ≈ 48,2°.