Verified answer

В правильной шестиугольной призме АBCDEFFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой С₁F

(Правильная призма — это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник.)

-----------

Объяснение подробное и поэтому длинное, хотя решение задачи довольно простое. 

Расстояние от точки до прямой - длина отрезка, проведенного  от точки перпендикулярно к этой прямой

Соединим попарно точки C₁ и F, B и C₁, B и F.

Если провести через середины ВС и ЕF прямую, то она - диаметр вписанной в основание окружности.  ВF параллельна этому диаметру и перпендикулярна СВ.

 СВ, проекция наклонной С₁В,  перпендикулярна ВF ⇒ 

по т. о трех перпендикулярах С₁В ⊥BF  ⇒

⊿ ВС₁F прямоугольный с прямым углом C₁BF

Искомое расстояние - высота ВН, проведенная из прямого угла этого треугольника к гипотенузе C₁F

C₁F найдем из  ∆ С₁BF- он прямоугольный, т.к. все ребра правильной призмы перпендикулярны основанию.

СF равен длине двух сторон основания, т.е. 2.

СС1=1 по условию. 

С₁F=√(2²+1²)=√5

C₁B=√(CC₁²+CB²)=√2

BF можно найти по т.косинусов, можно из прямоугольного ∆АВМ, в котором угол АВМ=30º ( как угол при основании равнобедренного ∆ ВАF, где угол при А=120, а угол МАВ=60º).

ВМ =АВ*sin60º=√3):2

BF=2 BM=√3

S ∆ BC₁F=BC₁•BF:2=(√2•√3):2=(√6):2

ВН ∆ BC₁F=2S:C₁F=(√6):√5 или, если извлечь корни, примерно 1,095 (ед. длины)