В правильной треугольной пирамиде боковые грани наклонены к основанию под углом 60°. В эту пирамиду вписан шар радиуса R.
1) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
2) Найдите длину окружности, по которой поверхность шара касается боковых граней пирамиды
1) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
2) Найдите длину окружности, по которой поверхность шара касается боковых граней пирамиды
Answers & Comments
Verified answer
В пирамиду ЕАВС вписан шар. ОК=ОМ=R, ∠ЕРМ=60°.В тр-ке ЕРМ ОК=ОМ, ОК⊥ЕМ, ОМ⊥РМ, значит РО - биссектриса.
В тр-ке РОМ РМ=ОМ/tg30=R√3.
В тр-ке ЕРМ ЕР=РМ/cos60=2R√3.
Так как грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то основание высоты пирамиды лежит в центре вписанной в основание окружности. PM=r.
В правильном тр-ке r=a√3/6 ⇒ a=6r/√3=2r√3.
a=AB=2РМ√3=2R√3·√3=6R.
Площадь боковой поверхности:
Sб=Р·l/2=3AB·EP/2=3·6R·2R√3/2=18R√3 - это ответ.
КТ - диаметр окружности на которой лежат точки касания поверхности шара и боковых граней пирамиды. КТ║АВС.
∠КОМ=∠КОР+∠МОР=60+60=120° ⇒ ∠КОД=180-120=60°.
В прямоугольном тр-ке КДО КД=ОК·sin60=R√3/2.
Длина окружности касания: C=2πr=2π·КД=πR√3 - это ответ.