Verified answer

Ответ: 216 (ед. объема)

Объяснение:  Рассмотрим один из равных двугранных углов данной правильной пирамиды  – угол между плоскостями ЅСВ и АСВ. . Его величина  равна  градусной мере линейного угла, сторонами которого являются лучи, проведённые в его гранях перпендикулярно ребру с общим началом на нём.

    Высота АН основания перпендикулярна СВ. По т. о 3-х перпендикулярах ЅН перпендикулярна ВС и  является высотой и медианой равнобедренного ∆ SCB.

Угол SHA– угол между боковой гранью и основанием =30° ( дано).

   SD - высота  правильной пирамиды => D - точка пересечения высот ( медиан. биссектрис) ∆АВС.

Примем ЅН=а.

Тогда НD=a•cos30°=a(√3)/2

SD=a•sin30°=a/2

  По свойству высоты (медианы)  правильного треугольника AD=2HD=a√3  

Из прямоугольного ∆ АЅD  по т. Пифагора ЅА=√(SD² +AD² )=√(13а²/4) =>

SA=(а√13)/2

Расстояние от т.К до бокового ребра - перпендикуляр КМ=4/√13

∆SKM подобен ∆ SAD по общему острому углу при Ѕ.

                    k=SD:SK=3

SK=SD:3=a/6

 AD=3•KM=12/√13

КМ:AD=SK:SA  =>

AD•SK=KM•SA =>

(a²√3)/6=4a/2, откуда а=4√3

Высота пирамиды SD=a/2=2√3,

АН=3DH=3•4√3•√3/2=18,

АВ=АН:sin60°=12√3

V(SABC)=S(ABC)•SD/3

V=([(12√3)²•√3:4]•2√3):3=216 (ед. объема)