В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 сторона основания АВ равна 6, а
боковое ребро АА1 равно 3 . На ребре В1С1 отмечена точка L так, что B1L=1. Точки К и М
– середины ребер АВ и А1С1 соответственно. Плоскость гамма параллельна прямой АС и
содержит точки К и L.
а) Докажите, что прямая ВМ перпендикулярна плоскости гамма
б) Найдите объем пирамиды, вершина которой – точка М, а основание – сечение
данной призмы плоскостью гамма .
боковое ребро АА1 равно 3 . На ребре В1С1 отмечена точка L так, что B1L=1. Точки К и М
– середины ребер АВ и А1С1 соответственно. Плоскость гамма параллельна прямой АС и
содержит точки К и L.
а) Докажите, что прямая ВМ перпендикулярна плоскости гамма
б) Найдите объем пирамиды, вершина которой – точка М, а основание – сечение
данной призмы плоскостью гамма .
More Questions From This User See All
Answers & Comments
Verified answer
А) Сечение призмы плоскостью гамма представляет собой равнобедренную трапецию.Так как плоскость гамма параллельна прямой АС, то линии пересечения этой плоскостью оснований призмы параллельны между собой. Пусть это будут отрезки L1L и KK1.
Так как основания призмы - правильные треугольники, то отсекаемые плоскостью гамма треугольники тоже правильные и имеют стороны по 1 и по 3 (на основании задания).
Рассечём призму плоскостью, проходящей через ребро АА1 перпендикулярно стороне АС.
Эта плоскость проходит через высоты оснований призмы и через ось трапеции В2К2 в сечении гамма .
В этой плоскости лежит заданная прямая ВМ, которая пересекает ось трапеции В2К2 в точке О.
Определим тангенсы углов наклона прямых ВМ и В2К2 к основанию призмы.
Высота основания ВМ1 равна 6*cos30° = 6*(√3/2) =3√3.
tg(BM)=3/(3√3) =1/√3.
Проекция В2К2 на основание равна (3√3/2) - (√3/2) = √3.
tg(В2К2) = 3/√3 = √3.
То есть углы составляют 30 и 60 градусов.
Отсюда вывод - прямая ВМ перпендикулярна плоскости гамма.
б) Высота трапеции h в сечении гамма равна:
h = √(3²+(√3)²) = √(9+3) = √12 = 2√3.
Площадь трапеции So = ((1+3)/2)*(2√3) = 4√3.
Высота заданной пирамиды H - это отрезок МО, равный ВМ - ВО.
ВМ = √(3²+(3√3)²) = √(9+27) = √36 = 6.
ВО = ВК2*cos30° = (3√3/2)*(√3/2) = 9/4.
H = 6 - (9/4) = 15/4.
Объём заданной пирамиды равен:
V = (1/3)So*H = (1/3)*(4√3)*(15/4) = 5√3.