В правильной усеченной пирамиде стороны оснований 5 и , а боковое ребро наклонено под углом 45 к основанию. Найти боковую поверхность пирамиды.
Answers & Comments
ahmetovrafaelОбозначим вершины оснований нижнего АВС,верхнего соответственно А1В1С1. Проведем высоты треугольников АDи A1D1. AD и A1D1 соответственно равны 5*√(3)/2=2,5*√(3) и 7*√(3)/2=3,5*√(3). Проведем ось симметрии (ось вращения)пирамиды О1О. Отметим, что точки О1 и О являются центрами треугольников(центрами описанных вокруг треугольников окружностей) и находятся в точкахпересечения соответствующих медиан. Поскольку медианы в точке пересеченияделятся в отношении 2:1 (или 2/3:1/3), тоA1O1=2,5*√(3)*(2/3)=(5/3)*√(3)=(10/6)*√(3), O1D1=2,5*√(3)*(1/3)=(5/6)*√(3), AO=5,5*√(3)*(2/3)=(7/3)*√(3)=(14/6)*√(3), OD=3,5*√(3)*(1/3)=(7/6)*√(3). Рассечемпирамиду вертикальной плоскостью, проходящей через A1D1 и AD.В сечении получим неравнобочную трапециюAA1D1D. AA1 - это боковое ребро пирамиды, и угол междунею и большим основанием трапеции равен 45° (это угол между боковым ребром иплоскостью основания пирамиды). DD1 - это апофема боковой грани пирамиды.Основания трапеции - это высоты оснований, и они равны соответственно2,5*√(3) и 7*√(3)/2=3,5*√(3). Проекцияоси симметрии (отрезок О1О) делит нашу трапецию на две прямоугольные трапецииАА1О1О и ОО1D1D. В трапеции АА1О1О из вершины А1 опусти перпендикуляр(высоту) А1Е на основание АО. Она разобьет трапецию АА1О1О напрямоугольник ЕА1О1О и прямоугольный треугольник АА1Е, в которомAE=AO-EO=AO-A1O1=(14/6)*√(3)-(10/6)*√(3)=(4/6)*√(3). Так как острый уголтреугольника АА1Е равен 45°, то треугольник равнобедренный и А1Е, а значити О1О=(4/6)*√(3). Втрапеции ОО1D1D из вершины D1 опусти перпендикуляр (высоту) D1F на основаниеОD. Она разобьет трапецию ОО1D1D на прямоугольник ОО1D1F и прямоугольныйтреугольник FD1D, в котором FD=OD-OF=OD-O1D1=(7/6)*√(3)-(5/6)*√(3)=(2/6)*√(3). Потеореме Пифагора вычисляем, что D1D=√(5/3). Посколькубоковые грани пирамиды представляют собой трапеции с основаниями 5 и 7 ивысотой (равна апофеме боковой грани, т.е D1D), то площадь одной боковой граниравна ((5+7)/2)*√(5/3)=6*√(5/3), а вся площадь боковойповерхности 3*6*√(5/3)=18*√(5/3)=6*√(15).
Answers & Comments
5*√(3)/2=2,5*√(3) и 7*√(3)/2=3,5*√(3). Проведем ось симметрии (ось вращения)пирамиды О1О. Отметим, что точки О1 и О являются центрами треугольников(центрами описанных вокруг треугольников окружностей) и находятся в точкахпересечения соответствующих медиан. Поскольку медианы в точке пересеченияделятся в отношении 2:1 (или 2/3:1/3), тоA1O1=2,5*√(3)*(2/3)=(5/3)*√(3)=(10/6)*√(3),
O1D1=2,5*√(3)*(1/3)=(5/6)*√(3), AO=5,5*√(3)*(2/3)=(7/3)*√(3)=(14/6)*√(3), OD=3,5*√(3)*(1/3)=(7/6)*√(3).
Рассечемпирамиду вертикальной плоскостью, проходящей через A1D1 и AD.В сечении получим неравнобочную трапециюAA1D1D. AA1 - это боковое ребро пирамиды, и угол междунею и большим основанием трапеции равен 45° (это угол между боковым ребром иплоскостью основания пирамиды). DD1 - это апофема боковой грани пирамиды.Основания трапеции - это высоты оснований, и они равны соответственно2,5*√(3) и 7*√(3)/2=3,5*√(3). Проекцияоси симметрии (отрезок О1О) делит нашу трапецию на две прямоугольные трапецииАА1О1О и ОО1D1D. В трапеции АА1О1О из вершины А1 опусти перпендикуляр(высоту) А1Е на основание АО. Она разобьет трапецию АА1О1О напрямоугольник ЕА1О1О и прямоугольный треугольник АА1Е, в которомAE=AO-EO=AO-A1O1=(14/6)*√(3)-(10/6)*√(3)=(4/6)*√(3). Так как острый уголтреугольника АА1Е равен 45°, то треугольник равнобедренный и А1Е, а значити О1О=(4/6)*√(3).
Втрапеции ОО1D1D из вершины D1 опусти перпендикуляр (высоту) D1F на основаниеОD. Она разобьет трапецию ОО1D1D на прямоугольник ОО1D1F и прямоугольныйтреугольник FD1D, в котором FD=OD-OF=OD-O1D1=(7/6)*√(3)-(5/6)*√(3)=(2/6)*√(3).
Потеореме Пифагора вычисляем, что D1D=√(5/3).
Посколькубоковые грани пирамиды представляют собой трапеции с основаниями 5 и 7 ивысотой (равна апофеме боковой грани, т.е D1D), то площадь одной боковой граниравна ((5+7)/2)*√(5/3)=6*√(5/3), а вся площадь боковойповерхности 3*6*√(5/3)=18*√(5/3)=6*√(15).