В произвольном четырехугольнике найти точку, для которой сумма векторов, идущих из этой точки к вершинам четырехугольника равна 0. Единственна ли такая точка?
More Questions From This User See All
Copyright © 2024 SCHOLAR.TIPS - All rights reserved.
Answers & Comments
Тогда по условию сумма векторов OA + OB + OC + OD = 0
Возьмем произвольную точку X в плоскости четырехугоьлника
Справедливы векторные равенства:
XA = XO + OA
XB = XO + OB
XC = XO + OC
XD = XO + OD
XA + XB + XC + XD = 4XO + OA + OB + OC + OD
Отсюда следует:
XA + XB + XC + XD = 4XO
Тогда вектор XO = 1/4 (XA + XB + XC + XD)
Отсюда находится точка О
(берем любую точку X, строим XA, XB, XC, XD, находим XO, и откладываем его из точки X - попадаем в искомую точку О).
Положим существует точка O1 обладающая теми же свойствами
Тогда такими же рассуждениями получаем, что
XO1 = 1/4 (XA + XB + XC + XD)
Отсюда XO = XO1, но это значит что O = O1 (т.е. это та же самая точка, значит она единственна)