В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями BC и AC и высотой AB диагонали AC и ...

July 2022 1 26 Report

В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями BC и AC и высотой AB диагонали AC и BD перпендикулярны друг другу . Известно отношение оснований BC : AD = m : n . Найдите отношение длин диагоналей AC : BD .

Answers & Comments

xERISx

Verified answer

Дано : ABCD - трапеция, BC║AD, AB⊥BC, AC⊥BD, $\dfrac {BC}{AD}=\dfrac mn$

Найти AC : BD - ?

ΔBOC ~ ΔAOD по двум равным углам :

∠BOC = ∠AOD = 90° по условию

∠BCO = ∠DAO - накрест лежащие углы при BC║AD и секущей AC

⇒ $\dfrac{CO}{AO}=\dfrac{BO}{DO}=\dfrac {BC}{AD}=\dfrac mn$

Пусть CO = mx, AO = nx, BO = my, DO = ny

ΔABC - прямоугольный, BO⊥AC по условию

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее геометрическое проекций катетов на гипотенузу.

$BO^2=AO\cdot CO~~\Rightarrow~~(my)^2=nx\cdot mx~~\Rightarrow~~m^2y^2=nmx^2\\\\\dfrac{x^2}{y^2}=\dfrac{m^2}{nm}=\dfrac mn~~~\Rightarrow~~~\boldsymbol{\dfrac xy=\sqrt{\dfrac mn}}$

$\dfrac{AC}{BD}=\dfrac{AO+CO}{DO+BO}=\dfrac{nx+mx}{ny+my}=\dfrac{x(n+m)}{y(n+m)}=\dfrac xy=\sqrt{\dfrac mn}\\\\\boxed{\boldsymbol{\dfrac{AC}{BD}=\sqrt{\dfrac mn}}}$

12 votes Thanks 16

Answers & Comments

Verified answer

bissektrisa bd treugolnika abc delit storonu ac na otrezki ad 4 i dc 1 na

v pryamougolnom treugolnike s gipotenuzoj ab 21 mediana ad peresekaet bissekt

tochka d i k lezhat sootvetstvenno na storonah bc i ac treugolnika abc otrezki

v ravnobedrennom treugolnike abc s tupym uglom b i osnovaniem ac 30 provedeny

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social