В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла проведена высота CD. Найдите углы треугольника ABC, если известно, что площадь DCB в 3 раза больше площади треугольника ADC.. Created by МиссX. geometriya-ru

В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла проведена высота CD. На...

Verified answer

Пусть катеты равны $z,y$ . Тогда так как CD высота то следует такие соотношения , высота среднее геометрическое между отрезками , так как соотношение площадей равны 3:1, то стороны тоже так относятся!
Тогда пусть одна сторона равна х, другая тогда 3х.
$
CD=\sqrt{3x*x}=\sqrt{3}x\\
CD=\frac{zy}{x+3x}=\sqrt{3}x\\
zy=4\sqrt{3}x^2\\
z^2+y^2=16x^2\\
\\
y=2x\\
z=2\sqrt{3}x\\
$
Теперь по теореме косинусов найдем углы
$\frac{12x^2-16x^2-4x^2}{-2*2x*4x}=cosB\\
cosB=0.5\\
B=60
$
значит другой $30$ гр
и того 90 60 30

1 votes Thanks 1

EpicArctic

Verified answer

раз площади ∆ADC и ∆CDB относятся как 1 :3, то
отрезки AD и DB тоже относятся как 1 :3
AD/DB = 1/3
∆ACD подобен ∆CDB (высота в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе делит треугольник на два подобных)
<A = <DCB (сходственные углы подобных треугольников)
обозначим СВ как х
тогда
tgA = CD/AD = x/1
tgDCB = DB/CD = 3/x
раз углы равны, то
tgA = tgDCB
x/1 = 3/x
x^2 = 3
x = √3
tgA = x/1 = √3

<A = arctg(tgA) = 60 °
<B = 180 - 90 - <A = 30°
ну а <C у нас прямой по условию

3 votes Thanks 3

Answers & Comments

Verified answer

Verified answer

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social