Из треугольника LPK;
LP^2+KP^2=KL^2; (1)
Из треугольника LPM;
LP^2+MP^2=LM^2. (2)
Сложив равенства (1) и (2), получим:
2LP^2+KP^2+MP^2=KL^2+LM^2. (3)
Из треугольника KLM;
KL^2+LM^2=KM^2. (4)
Подставим выражение для KL^2+LM^2
из (4) в (3):
2LP^2+KP^2+MP^2=KM^2. (5)
В (5) подставим KM=KP+MP;
2LP^2+KP^2+MP^2=(KP+MP)^2;
2LP^2+KP^2+MP^2=KP^2+2KP*MP+MP^2;
2LP^2=2KP*MP;
LP^2=KP*MP, что и требовалось доказать.