В прямоугольном треугольнике с катетами а и b найти биссектрису прямого угла. Гл...

July 2022 1 9 Report

В прямоугольном треугольнике с катетами а и b найти биссектрису прямого угла. Глупые варианты решения не предлагать.

Answers & Comments

Verified answer

Так как треугольник прямоугольный, то угол которая отсекает биссектриса от прямого угла равна 45 градусам. Пусть L-это длина самой биссектрисы, x и y это отрезки которая биссектриса отсекает от гипотенузы .
$a^2+b^2=(x+y)^2\\
y^2=b^2+L^2-\sqrt{2}bL\\
\frac{a}{b}=\frac{x}{y}\\
\\
x=\frac{ay}{b}\\
a^2+b^2=(\frac{ay}{b}+y)^2\\
a^2+b^2=\frac{a^2y^2}{b^2}+\frac{2ay^2}{b}+y^2\\
a^2+b^2=\frac{a^2(b^2+L^2-\sqrt{2}bL)}{b^2}+\frac{2a(b^2+L^2-\sqrt{2}bL)}{b}+(b^2+L^2-\sqrt{2}bL)\\
b^2(a^2+b^2)=a^2(b^2+L^2-\sqrt{2}bL)+2ab(b^2+L^2-\sqrt{2}bL)+b^2(b^2+L^2-\sqrt{2}bL)\\
L^2(a+b)^2-L(\sqrt{2}a^2b+2\sqrt{2}ab^2+\sqrt{2}b^3)+2ab^3=0\\
kvadratnoe\ uravnenie\ otnositel'no\ L\\
$

$L^2(a+b)^2-L(\sqrt{2}a^2b+2\sqrt{2}ab^2+\sqrt{2}b^3)+2ab^3=0\\
D=\sqrt{(\sqrt{2}a^2b+2\sqrt{2}ab^2+\sqrt{2}b^3)^2-4(a+b)^22ab^3}=\sqrt{2}b(b-a)(b+a)\\
L=\frac{\sqrt{2}ab}{a+b}$

P.S я использовал, теорему косинусов, теорему Пифагора , и теорему о биссектрисе!

4 votes Thanks 6

Answers & Comments

Verified answer

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social