без ошибки пишем и потому что слово ошибки стоит в Родительном падеже ( без чего без ошибки)

на пароходе пишем с е потому что слово пароходе стоит в Творительном падеже ( на чём на пароходе)

около площадки пишем с и потому что слово площадки в Родительном падеже

к рощи пишем с и потому что оно в Дательном падеже ( к чему к рощи)

у опушки в родительном падеже

без лошадки также в родительном падеже

за речкой в творительном падаже так как например домик находится за чем? за речкой

в подъезде в предложном падеже