В трапеции расстояние от центра вписанной в нее окружности до концов боковой стороны равны 75 и 100 см а до концов меньшего основания 65 и 75 см . Найдите площадь трапеции
Сделаем и рассмотрим рисунок. Боковые стороны из центра вписанной в трапецию окружности видны под прямым углом. Треугольники АОВ и ДОС прямоугольные. По т.ПифагораАВ= √(ОВ²+ОА²)=125 см Катет прямоугольного треугольника - среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией на нее этого катета. ВО²=ВМ*АВ 75²=ВМ*125 ВМ=45 ⇒ АМ=125-45=80 Отрезки касательных из одной точки до точек касания равны.⇒ ВК=ВМ=45 АН=АМ=80 По т.Пифагора ОН=60 ( проверьте). ОК=ОН=60 По т.Пифагора КС=25. ⇒ СТ=25. Радиус ОТ вписанной окружности - высота прямоугольного треугольника СОД. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из прямого угла - среднее пропорциональное между отрезками, на которые она делит гипотенузу. ОТ²=СТ*ТД ТД=ОТ²:СТ=3600:25=144 НД=ТД=144 ВС=ВК+КС=45+25=70 АД=АН+НД=80+144=224 Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту. Высота трапеции равна диаметру вписанной в нее окружности. S=1/2(BC+АД)*КН= 1/2(70+224)*120=8820
Answers & Comments
Verified answer
Сделаем и рассмотрим рисунок.Боковые стороны из центра вписанной в трапецию окружности видны под прямым углом.
Треугольники АОВ и ДОС прямоугольные.
По т.ПифагораАВ= √(ОВ²+ОА²)=125 см
Катет прямоугольного треугольника - среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией на нее этого катета. ВО²=ВМ*АВ
75²=ВМ*125
ВМ=45 ⇒
АМ=125-45=80
Отрезки касательных из одной точки до точек касания равны.⇒
ВК=ВМ=45
АН=АМ=80
По т.Пифагора ОН=60 ( проверьте).
ОК=ОН=60
По т.Пифагора КС=25. ⇒
СТ=25.
Радиус ОТ вписанной окружности - высота прямоугольного треугольника СОД.
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из прямого угла - среднее пропорциональное между отрезками, на которые она делит гипотенузу.
ОТ²=СТ*ТД
ТД=ОТ²:СТ=3600:25=144
НД=ТД=144
ВС=ВК+КС=45+25=70
АД=АН+НД=80+144=224
Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту.
Высота трапеции равна диаметру вписанной в нее окружности.
S= 1/2(BC+АД)*КН= 1/2(70+224)*120=8820