в треугольник ABC вписана окружность, касающаяся сторон AB, BC, и AC в точках P,Q и K соответственно. Известно, что BK - медиана треугольника. Докажите, что прямые PQ и BK перпендикулярны.
Внизу есть примерный чертёж!
Даю 38 баллов только за правильное и подробное доказательство.
Внизу есть примерный чертёж!
Даю 38 баллов только за правильное и подробное доказательство.
Answers & Comments
Verified answer
Сos20093 совершенно прав, ноПоскольку в геометрии не должно быть ничего очевидного, кроме аксиом, надо все доказать.
1. АК=КС, так как ВК - медиана (дано).
2. АК=АР и КС=QC, как касательные к окружности из одной точки.
3. ВР=ВQ по той же причине.
4. Из (2) и (3) АВ=ВС (АВ=АР+РВ, ВС=СQ+QB. => треугольник
АВС равнобедренный и по его свойствам ВК - медиана и высота треугольника. => ВК ⊥ АС.
5. Треугольники АВС и РВQ равнобедренные и подобные, так как
<B - общий => PQ||АС. и в следствие (4) ВК⊥АС, что и требовалось доказать.