В треугольник со сторонами 5,8 и 10 вписана окружность.К окружности поведена касательная,пересекающая две стороны треугольника.Какое наименьшее значение может быть у периметра треугольника,отсеченного этой касательной от исходного треугольника?
Copyright © 2024 SCHOLAR.TIPS - All rights reserved.
Answers & Comments
Verified answer
Дано : AB =c =5 ; BC =a =8 ; AC =b =10.D , E ,F точки касания вписанной окружности соответственно со сторонами AB , BC и AC.
Обозначаем: AD=AF =x ; BD=BE =y ; CE=CF =z.
a=BC=BE+CE =BD+CF=(AB-AD)+(AC-AF)=(AB+AC-2AD) =(b+c-2x) ⇒
2x =b+c -a=b+c -a =b+c+a-2a =P-2a =2(p-a),где p=P/2_полупериметр.
аналогично : 2y =P-2b и 2z =P-2c ; здесь P=5+8+10 =23.
* * * x= p -a , y =p -b ,z =p -c ; p =(a+b+c)/2_полупериметр. * * *
Пусть MN касательная к этой окружности ,которая пересекает AB в точке M (M∈ [AB] и сторону AC в точке N (N∈ [AC]) и окружность в точке K.
Периметр треугольника AMN:
P₁=P(AMN)=AM+MN+NA =AM+(MK +KN)+NA=AM+MD+NF+NA=
AD+AF =2AD=2x .
P₁=2x =P-2a =23-2*8 =7. (вершина A)
аналогично :
P₂ =2y=P-2b =23 -2*10=3. (вершина B).
P₃ =2z=P-2c =23 -2*5 =13. (вершина C)
ответ: 3.