В треугольнике ABC AB = BC = 15 см. Перпендикуляр MN, проведенный к стороне АВ через ее середину - точку N, пересекает основание AC к точке M. Найдите основание AC треугольника ABC ( в см), если периметр треугольника BMC = 35 см.
More Questions From This User See All
Answers & Comments
Verified answer
Решение сводится к доказательству равенства АМ и СМ, т.к. сторона ВМ для ∆ АВМ и ∆ СВМ общая.
АВ=СВ (дано) По свойству углов равнобедренного треугольника ∠ВАС=∠ВСА. Примем их равными α. В ∆ ВМС из периметра ВМ+СМ=35-15=20 см
В ∆ АВМ отрезок MN перпендикулярен АВ в её середине. Следовательно, MN- высота и медиана ∆ АВМ, из чего следует ВМ=АМ.
Отрезок МN делит ∆ АВМ на два равных прямоугольных треугольника.
∠ВМА=180°-∠А-∠АВМ=180°-2α.
Угол ВМА - внешний для ∆ ВМС ⇒ посвойству внешнего угла равен двух других, не смежных с ним. ∠В+∠С=180°-2α. В то же время ∠ВМС, смежный углу ВМА, равен 180°-ВМА=180°-(180°-2α), откуда ∠В+∠С=2α. Т.к. ∠С=α, то ∠СВМ=α. Следовательно, ∆ ВСМ равнобедренный, СМ=ВМ=АМ. ⇒ АС=АМ+СМ=ВМ+СМ=20 см