В треугольнике ABC проведённые медианы AN и BK пересекаются в точке M. Определи площадь треугольника ABC, если площадь треугольника BNM равна 23см2.
Answers & Comments
VirtusProRUS
Решение: SΔАВN=1/2SΔАВС (т.к. медиана AN делит ΔАВС на два равновеликих треугольника). BN=CN, у них h (высота) - общая. Проведем АР⊥ВС, МR⊥ВС. ΔРNА и ΔRNМ - подобные. АN относится к MN как AP относится к NR (АN:MN = AP:NR). Точка М делит медианы от вершины на отрезки в соотношении 2:1 (АМ:MN), следовательно АN:MN=3:1. AP - высота ΔВNA, NR- высота ΔВNМ (ВN - общее основание) и AP:NR=3:1. SΔВNM=1/3*SΔВNA=1/3*1/2*ΔАВС=1/6*SΔАВС, SΔABC=6*SΔВNM=6*23=138. Ответ: SΔABC=138 см2
1 votes Thanks 3
siestarjoki
Медианы делят треугольник на шесть равновеликих. S(ABC)= 6S(BNM) =23*6 =138 (см^2)
------------------------------------------------- Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. △CBM и △CMK имеют общую высоту, следовательно их площади относятся как основания, 2:1. Медиана MN делит △CBM на два равной площади. S(BMN)=S(CMN)=S(CMK). Аналогично S(BMP)=S(AMP)=S(AMK). Медиана MK делит △AMC на два равной площади, S(AMK)=S(CMK).
Answers & Comments
SΔАВN=1/2SΔАВС (т.к. медиана AN делит ΔАВС на два равновеликих треугольника).
BN=CN, у них h (высота) - общая.
Проведем АР⊥ВС, МR⊥ВС.
ΔРNА и ΔRNМ - подобные.
АN относится к MN как AP относится к NR (АN:MN = AP:NR).
Точка М делит медианы от вершины на отрезки в соотношении 2:1 (АМ:MN), следовательно АN:MN=3:1.
AP - высота ΔВNA, NR- высота ΔВNМ (ВN - общее основание) и AP:NR=3:1.
SΔВNM=1/3*SΔВNA=1/3*1/2*ΔАВС=1/6*SΔАВС, SΔABC=6*SΔВNM=6*23=138.
Ответ: SΔABC=138 см2
S(ABC)= 6S(BNM) =23*6 =138 (см^2)
-------------------------------------------------
Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. △CBM и △CMK имеют общую высоту, следовательно их площади относятся как основания, 2:1. Медиана MN делит △CBM на два равной площади. S(BMN)=S(CMN)=S(CMK).
Аналогично S(BMP)=S(AMP)=S(AMK).
Медиана MK делит △AMC на два равной площади, S(AMK)=S(CMK).