Пусть точка пересечения медиан - это точка Д. В этой точке медианы делятся в отношении 2:1 считая от вершины. АД = 39*(2/3) = 26, ДМ = 39/3 = 13. СД = 42*(2/3) = 28, ДN = 42/3 = 14. В треугольнике АДС по теореме косинусов определяем косинус угла АДС: cos ADC = (26² + 28² - 30²)/(2*26*28) = 560/1456 = 5/13. Косинусы смежных углов ADN и СДМ равны -cos АДС = -5/13. По теореме косинусов находим отрезки АN и СМ как стороны треугольников АДN и СДМ. СМ = √(28² + 13² - 2*28*13*(-5/13)) = √1233 = 3√137. AN = √(26² + 14² - 2*26*14*(-5/13)) = √1152 = 24√2. Стороны АВ и ВС в 2 раза больше найденных отрезков. АВ = 2*24√2 = 48√2. ВС = 2*3√137 = 6√137. Теперь имеем длины всех сторон треугольника АВС и по формуле Герона находим его площадь. S =√(p(p-a)(p-b)(p-c)). Полупериметр р = 84,055225. Подставив значения р и длин сторон, находим: S = 1008 кв.ед.
Answers & Comments
Verified answer
Пусть точка пересечения медиан - это точка Д.В этой точке медианы делятся в отношении 2:1 считая от вершины.
АД = 39*(2/3) = 26, ДМ = 39/3 = 13.
СД = 42*(2/3) = 28, ДN = 42/3 = 14.
В треугольнике АДС по теореме косинусов определяем косинус угла АДС:
cos ADC = (26² + 28² - 30²)/(2*26*28) = 560/1456 = 5/13.
Косинусы смежных углов ADN и СДМ равны -cos АДС = -5/13.
По теореме косинусов находим отрезки АN и СМ как стороны треугольников АДN и СДМ.
СМ = √(28² + 13² - 2*28*13*(-5/13)) = √1233 = 3√137.
AN = √(26² + 14² - 2*26*14*(-5/13)) = √1152 = 24√2.
Стороны АВ и ВС в 2 раза больше найденных отрезков.
АВ = 2*24√2 = 48√2.
ВС = 2*3√137 = 6√137.
Теперь имеем длины всех сторон треугольника АВС и по формуле Герона находим его площадь.
S =√(p(p-a)(p-b)(p-c)). Полупериметр р = 84,055225.
Подставив значения р и длин сторон, находим:
S = 1008 кв.ед.