В треугольнике ABC сторона BC равна a. Точка F — середина AB, I — точка пересечения биссектрис треугольника ABC. Оказалось, что ∠AIF = ∠ACB. Найдите периметр треугольника ABC.
Если E и K - точки касания вписанной окружности со сторонами AB и AC соответственно, то
△IEF = △IKL ( прямоугольные теругольники с равными катетами и гипотенузами, катеты - это радиусы вписанной окружности, а равенство гипотенуз только что доказано: IL = FI)
=> IF = KL;
пусть BC = a (как в условии), AB =c; AC = b; p = (a + b + c)/2; как обычно.
тогда AE = AK = p - a; (касательные к вписанной окружности из точки A)
=> c/2 - (p - a) = (p - a) - b/2;
2p - 2a = (b + c)/2 = p - a/2; => p = 3a/2;
ну, а периметр равен 2p = 3a;
этот ответ легко проверятеся, так как условие работает для равностороннего треугольника.
1 votes Thanks 3
cos20093
Честно говоря, упоминание гомотетии сделано больше для красоты, IL просто средняя линия MCA;
Ivanivanov234
Решение очень интересное. А можно было легче сделать: нам нужно просто доказать, что биссектриса делится в отношении 2 : 1, ну а значит по свойству биссектрисы в равностороннем треугольнике следует то, что исходный треугольник равносторонний.
cos20093
а вот мне по ходу показалось, что может быть и не равносторонний
cos20093
Я там нашел опечатку. EF = KL; (а не IF, которая равна IL)
cos20093
А кстати, решение легко раскручивается в обратную сторону. Если p = 3a/2; то EF = KL; => IF = IL; => M - точка пересечения BM II IF и CM II IL, лежит на биссектрисе AI, и равноудалена от B и C => M на описанной окружности => ∠FIA = ∠BCA; так что все работает для любого треугольника с периметром 3a, не только равностороннего.
△BFI=△BDI (по стороне и прилежащим углам) => BD=BF => AB=2BD
AB/BD =AC/DC (т о биссектрисе) => AC=2DC
P(ABC) =AB+AC+BC =2BD +2DC +BC =3a
2 votes Thanks 4
cos20093
Очень хорошее решение, ничего лишнего. Мне пришла в голову мысль - вы доказали, что FI = ID, а у меня на первом же шаге - что FI = AI/2; => I делит биссектрису в отношении 2/1, но это отношение равно (b + c)/a; это известное свойство биссектрисы. И все.
cos20093
ну правда мой "первый шаг" - это сведение к лемме трезубца, не лишком тривиальный инструмент, конечно. Хотя логика очень простая BM II FI, из M AB видна под углом C => M на биссектрисе и на описанной окружности, => MB = MI; плюс FI - средняя линия, откуда сразу MI = AI; FI = AI/2;
Answers & Comments
Verified answer
См. чертеж
Пусть BM II IF; где точка M - пересечение BM и AI.
∠BMA = ∠FIA = ∠BCA; => M лежит на описанной окружности (ABC).
так как AM - биссектриса ∠BAC, то M - центр окружности трезубца.
=> BM = MI = MC;
так как IF - средняя линия △BAM, то FI = BM/2, и AI = IM (= BM = MC; !)
Гомотетия H(A, 1/2) переводит M-> I; B -> F; окружность (ABC) -> (AFI);
и точку C переводит в середину AC - точку L;
=> L лежит на (AFI); IL II MC; IL = MC/2;
=> IL = FI;
Если E и K - точки касания вписанной окружности со сторонами AB и AC соответственно, то
△IEF = △IKL ( прямоугольные теругольники с равными катетами и гипотенузами, катеты - это радиусы вписанной окружности, а равенство гипотенуз только что доказано: IL = FI)
=> IF = KL;
пусть BC = a (как в условии), AB =c; AC = b; p = (a + b + c)/2; как обычно.
тогда AE = AK = p - a; (касательные к вписанной окружности из точки A)
=> c/2 - (p - a) = (p - a) - b/2;
2p - 2a = (b + c)/2 = p - a/2; => p = 3a/2;
ну, а периметр равен 2p = 3a;
этот ответ легко проверятеся, так как условие работает для равностороннего треугольника.
AD - биссектриса
△AIF~△ACD (по двум углам) => ∠BFI=∠BDI
△BFI=△BDI (по стороне и прилежащим углам) => BD=BF => AB=2BD
AB/BD =AC/DC (т о биссектрисе) => AC=2DC
P(ABC) =AB+AC+BC =2BD +2DC +BC =3a