В треугольнике ABC точка Ib — центр вневписанной окружности, касающейся стороны ...

August 2022 1 51 Report

В треугольнике ABC точка Ib — центр вневписанной окружности, касающейся стороны AC, A2 — середина дуги BAC описанной окружности треугольника ABC. Известно, что ∠C=44∘. Найдите углы треугольника BA2Ib.

Answers & Comments

Guerrino

Пусть $\angle A=\alpha,\; \angle B=\beta,\; \angle C=\gamma=44^o$ . Легко видеть, что $\angle A_{2}BI_{b}=\angle ABI_{b}-\angle ABA_{2}=\beta/2-\angle ABA_{2}$ (поскольку $BI_{b}$ биссектриса угла $B$ ). Заметим, что $\angle ABA_{2}=\angle ACA_{2}=x$ , так как они опираются на общую дугу $AA_{2}$ . Более того, треугольник $A_{2}BC$ равнобедренный, поскольку $A_{2}B=A_{2}C$ ( $A_{2}$ — середина дуги), и $\alpha=\angle BA_{2}C$ . Имеем: $\alpha=180^o-2(\gamma+x)$ , откуда $x=\frac{180^o-2\gamma-\alpha}{2}$ . Итого: $\angle A_{2}BI_{b}=\beta/2-\frac{180^o-2\gamma-\alpha}{2}=\frac{\gamma}{2}$ .

Пусть $AM$ — биссектриса угла $A$ ( $M$ — середина дуги $BC$ ). Тогда $\angle A_{2}AM=90^o$ . Более того, поскольку $AI_{b}$ является биссектрисой внешнего угла $A$ , то $\angle I_{b}AC=90^o-\alpha/2$ , откуда $\angle I_{b}AM=90^{o}$ . Значит, $A_{2}$ лежит на отрезке $AI_{b}$ .

Здесь уже просто: $\angle I_{b}A_{2}B=180^o-\angle AA_{2}B=180^o-\gamma$ . Оставшийся угол: $\angle A_{2}I_{b}B=180^o-\gamma/2-180^o+\gamma=\gamma/2$ .