в треугольнике ABC углы A и C равны 45 30 соответственно а высота АД 3 м найдите...

ravkhat11 @ravkhat11

November 2021 1 16 Report

в треугольнике ABC углы A и C равны 45 30 соответственно а высота АД 3 м

найдите стороны

Answers & Comments

mionkaf1

Verified answer

Дано:

∠A=45° , ∠C=30° . AD ⊥ BC , AD = 3 м

AB, BC, AC - ?

Из ΔADC(∠ADC=90°) , катет, который лежит против угла 30° равен половине гипотенузы. AC=2AD=2*3=6м

Сумма углов треугольника = 180° . ∠B=180°-(45°+30)°=105°

$sin105^{\circ}=sin(135^{\circ}-30^{\circ})=sin135^{\circ}cos30^{\circ}-cos135^{\circ}sin30^{\circ}=\\\\=\frac{\sqrt{2}}{2}*\frac{\sqrt{3} }{2}+\frac{\sqrt{2} }{2}*\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6} }{4}+\frac{\sqrt{2} }{4}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

По теореме синусов найдём BC :

$\frac{BC}{sin45^{\circ}}=\frac{AC}{sin105^{\circ}}\\\\\frac{BC}{\frac{\sqrt{2} }{2} }=\frac{6}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}\\\\BC\sqrt{2}=\frac{24}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}\\\\BC\sqrt{2}=6(\sqrt{6}-\sqrt{2})\\\\BC=\frac{6\sqrt{6}-6\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=6\sqrt{3}-6$

Найдём AB:

$\frac{AB}{sin30^{\circ}}=\frac{BC}{sin45^{\circ}}\\\\\frac{AB}{\frac{1}{2} }=\frac{6\sqrt{3}-6 }{\frac{\sqrt{2} }{2} }\\\\2AB=\frac{12\sqrt{3}-12 }{\sqrt{2} }\\\\2AB=\frac{2\sqrt{2}(6\sqrt{3}-6)}{2}\\\\2AB=6\sqrt{6}-6\sqrt{2}\\\\AB=3\sqrt{6}-3\sqrt{2}$