В треугольнике АВС АС=1 см, АВ=2 см, О – точка пересечения биссектрис. Отрезок, ...

July 2022 1 25 Report

В треугольнике АВС АС=1 см, АВ=2 см, О – точка пересечения биссектрис. Отрезок, проходящий через точку О, параллельно стороне ВС, пересекает стороны АС и АВ в точках К и М соответственно. Найдите периметр треугольника АКМ

Answers & Comments

Матов

Verified answer

Положим что биссектрисы $BG ; CH ; AL$ .
Так как $KM ||BC$ , то треугольник $\Delta AKM$ подобен   $\Delta ABC$ .
$\frac{AK}{1}=\frac{AM}{2}\\
AM=2AK\\ 
BM=2KC$
Впишем угол $CAB=a$ .
$S_{ABC}=\frac{2*1*sina}{2}=sina$
Так как точка пересечения биссектрис , является центром вписанной окружности в данный треугольник.
   $KMBC$ трапеция , то $r$ - радиус вписанной окружности является высотой трапеции .
   $KM= 0.5*KM*\sqrt{ 5-4cosa } \\
BC=\sqrt{5-4cosa}$
Площадь трапеций $S_{KMBC} = \frac{\frac{2sina}{3+\sqrt{5-4cosa}} (AM*0.5*\sqrt{5-4cosa}+\sqrt{5-4cosa})}{2}\\
 S_{ABC} = \frac{\frac{2sina}{3+\sqrt{5-4cosa}} (AM*0.5*\sqrt{5-4cosa}+\sqrt{5-4cosa})}{2}+AM^2*sina*0.25$
то есть приравнивая
$AM=\frac{6}{\sqrt{5-4cosa}+3}$
Откуда $AK=\frac{3}{\sqrt{5-4cosa}+3}$
$
 KM=\frac{3\sqrt{5-4cosa}}{\sqrt{5-4cosa}+3} \\
 P_{AKM} = \frac{3\sqrt{5-4cosa}}{\sqrt{5-4cosa}+3} + \frac{9}{\sqrt{5-4cosa}+3} = 3$

7 votes Thanks 7