Verified answer

пусть шахматистов X

очевидно, что каждый сыграл с X-1 шахматистов(так как сыграл со всеми) 

=> каждый сыграл X-1 партий, а X шахматистов сыграли X(X-1)/2 партий (т.к. каждая партия играется двумя(!!!) шахматистами)

имеем уравнение: X^2-X-240=0

решаем: дискриминант=1+240*4=961=31*31

=> корни уравнения - числа 16 и -15

очевидно, что количество шахматистов больше нуля

следовательно, ответ: 16