В выпуклом пятиугольнике ABCDE углы ABC и CDE равны по 90°, а каждая из сторон BC, CD и AE равна 1 и сумма сторон AB и DE равна 1. Найдите площадь пятиугольника
Продлим АВ за точку А, пусть F лежит на этом продолжении и FB = 1.
FBCD - квадрат со стороной 1. Точка пересечения АЕ и FD обозначим за К.
В условии ED + AB = 1, это означает, что FA = ED;
Если провести окружность радиусом 1 и центром в А, то она коснется DC в точке Р, причем АР перпендикулярно DC, FA = PD. Окружность пройдет через точку Е (АЕ =1),
и DE = DP. Поэтому DE - касательная, и треугольник EDK прямоугольный, угол АЕD прямой. Значит треугольники FAK и KED равны, равны и их площади. Поэтому площадь пятиугольника равна площади квадрата, то есть 1.
Answers & Comments
Verified answer
Продлим АВ за точку А, пусть F лежит на этом продолжении и FB = 1.
FBCD - квадрат со стороной 1. Точка пересечения АЕ и FD обозначим за К.
В условии ED + AB = 1, это означает, что FA = ED;
Если провести окружность радиусом 1 и центром в А, то она коснется DC в точке Р, причем АР перпендикулярно DC, FA = PD. Окружность пройдет через точку Е (АЕ =1),
и DE = DP. Поэтому DE - касательная, и треугольник EDK прямоугольный, угол АЕD прямой. Значит треугольники FAK и KED равны, равны и их площади. Поэтому площадь пятиугольника равна площади квадрата, то есть 1.