Вася сложил большой куб из маленьких одинаковых кубиков и покрасил некоторые грани большого Куба. Потом он разобрал большой куб на маленькие кубики, и оказалось, что 45 из них не имеют ни одной покрашенной грани. Сколько граней большого Куба покрасил Вася?
А2
Б 3
В 4
Г 5
Д 6
А2
Б 3
В 4
Г 5
Д 6
Answers & Comments
Verified answer
Так какразмер куба неизвестен, то попробуем его оценить.Для куба 3х3х3 общее число кубиков 3³=27 - меньше, чем в данной ситуацииосталось незакрашенных - этот куб мал.
Куб 4х4х4 имеет 4³=64 кубиков, из них как минимум (4-2)³=8 не закрашены.
Куб 5х5х5 имеет 5³=125 кубиков, из них как минимум (5-2)³=27 незакрашены.
Куб 6х6х6 имеет 6³=216 кубиков, из них как минимум (6-2)³=64 не закрашены.Но у нас в наличии только 45 кубиков. Значит этот куб велик.
Вывод: красили куб размером 4х4х4 или 5х5х5.
Предположим, что в наличии был куб 4х4х4:
(2) для двух закрашенных граней возможны две ситуации:
(2.1) закрасили две смежные грани, тогда закрашено 8 центральных, 14реберных и 6 угловых кубиков, то есть всего 28 кубиков, тогда не закрашено 36кубиков
(2.2) закрасили две противоположные грани, тогда закрашено 8 центральных,16 реберных и 8 угловых кубиков, то есть всего 32 кубика, тогда не закрашенотакже 32 кубика
Оба этих варианта дают результат, меньший чем 45 незакрашенных кубиков.Если закрасить еще большее число граней, то незакрашенных кубиков останетсяеще меньше. Значит, это был не куб 4х4х4.
Проверяем куб 5х5х5:
(2) для двух закрашенных граней по-прежнему есть две ситуации:
(2.1) закрасили две смежные грани, тогда закрашено 18 центральных, 21реберных и 6 угловых кубиков, то есть всего 45 кубиков, тогда не закрашено 80кубиков
(2.2) закрасили две противоположные грани, тогда закрашено 18 центральных,24 реберных и 8 угловых кубиков, то есть всего 50 кубиков, тогда не закрашено75 кубиков
(3) для трех закрашенных граней также есть две ситуации:
(3.1) закрасили три грани, среди которых нет противоположных, тогда кситуации (2.1) добавятся 9 центральных, 6 реберных и 1 угловой кубик, то естьвсего 45+9+6+1=61 кубик закрашен, тогда не закрашено 64 кубика
(2.2) закрасили три грани, среди которых есть пара противоположных, тогда кситуации (2.2) добавятся 9 центральных, 9 реберных и 2 угловых кубика, тоесть всего 50+9+9+2=70 кубиков закрашено, тогда не закрашено 55 кубиков
(4) для четырех закрашенных граней есть две ситуации:
(4.1) не закрасили две смежные грани, то есть 18 центральных, 21 реберных и6 угловых кубиков, то есть всего 45 кубиков - подходящий случай
(4.2) не закрасили две противоположные грани, то есть 18 центральных, 24реберных и 8 угловых кубиков, то есть всего 50 кубиков
Один из случаев для 4 закрашенных граней удовлетворяет условию.
Ответ: 4 грани