Проведем радиус сферы в точку соприкосновения шара с цилиндром. Угол между этим радиусом и осью цилиндра (проходящего через центр сферы) обозначим как A.
Радиус оснвания цилиндра равен = R sin A
расстояние от центра сферы до основания цилиндра = R cos A
высота цилиндра в два раза больше расстояния от центра сферы до основания цилиндра, т.е. = 2R cos A
Значит объем цилиндра равен V = pi (R sin A)^2 * 2R cosA = pi R^3 * sin^2 A * cos A
Найдем максимум путем дифферинцирования ф-ции объема
V' = pi R^3 ([1-cos^2 A] cos A)'
т.е. максимум достигается при sin^2 A = 2/3
Объем сферы = 4/3 pi R^3
Отношение объемов = ( 4/3 pi R^3 ) / ( pi R^3 * sin^2 A * cos A ) = 4 / (3 * sin^2 A * cos A) =
Answers & Comments
Проведем радиус сферы в точку соприкосновения шара с цилиндром. Угол между этим радиусом и осью цилиндра (проходящего через центр сферы) обозначим как A.
Радиус оснвания цилиндра равен = R sin A
расстояние от центра сферы до основания цилиндра = R cos A
высота цилиндра в два раза больше расстояния от центра сферы до основания цилиндра, т.е. = 2R cos A
Значит объем цилиндра равен V = pi (R sin A)^2 * 2R cosA = pi R^3 * sin^2 A * cos A
Найдем максимум путем дифферинцирования ф-ции объема
V' = pi R^3 ([1-cos^2 A] cos A)'
т.е. максимум достигается при sin^2 A = 2/3
Объем сферы = 4/3 pi R^3
Отношение объемов = ( 4/3 pi R^3 ) / ( pi R^3 * sin^2 A * cos A ) = 4 / (3 * sin^2 A * cos A) =
2 / cos A = 2 sqrt(3)
Ответ: