Задание A3

При каких значениях x значение производной функции f(x) = 2x⁵ - 1.5x⁴ + 9 равно 0?

Решение

Для начала найдём производную, а затем приравняем к нулю, чтобы узнать, в каких точках она равна нулю:

f'(x) = (2x⁵ - 1.5x⁴ + 9)' = (2x⁵)' - (1.5x⁴)' + (9)' =

5 · 2 · x⁵⁻¹ - 1.5 · 4 · x⁴⁻¹ + 0 =

10x⁴ - 6x³

f'(x) = 0, тогда

10x⁴ - 6x³ = 0

Вынесем общий множитель 2x³:

2x³ · (5x - 3) = 0

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

2x³ = 0 ⇒ x = 0

5x - 3 = 0 ⇒ 5x = 3 ⇒ x = 3/5

Ответ

0; 3/5

Задание B1

Найдите значения x, при которых значения производной функции f(x) = 6x + x√x положительны.

Решение

Для начала найдём производную, а затем решим неравенство f'(x) > 0, чтобы узнать, при каких x производная положительна:

Мы видим, что у нас в производной лишь одна переменная - это x. К радости, она находится в числителе, а также заключена в корень. А это значит, что (вспомнив определение корня) x не может быть меньше нуля. Так как по условию нам ничего не говорилось про 0, мы исключим его.

Ответ

x ∈ N или x ∈ (0; +∞)

Задание B2

Найдите производную функции y = (x + 4) / √x

Решение

Вспомним формулу дифференцирования дроби:

Применим к нашей функции:

Ответ

Задание C1

При каких значениях x производная функции y = (3 - x)⁴ · (2x + 1)³ принимает отрицательные значения?

Решение

В таблице производных таких формул нет, поэтому понимаем, что тут сложные функции, да они ещё и умножаются. Вспомним формулу дифференцирования произведения:

(a · b)' = a' · b + a · b'

А также дифференцирование сложной функции:

f'(g(x)) = f'(g) · g'(x)

Чтобы не мучить глаза ни себе длинными записями, ни Вам, я введу переменные:

(3 - x)⁴ = a,

(2x + 1)³ = b

Найдём сначала производную от a и b, а затем подставим их в формулу дифференцирования производной:

a' = ((3 - x)⁴)' = 4 · (3 - x)⁴⁻¹ · (3 - x)' = 4 · (3 - x)³ · (-1) = -4 · (3 - x)³

b' = ((2x + 1)³)' = 3 · (2x + 1)³⁻¹ · (2x + 1)' = 3 · (2x + 1)² · 2 = 6 · (2x + 1)²

(a · b)' = a' · b + a · b' = -4 · (3 - x)³ · (2x + 1)³ + (3 - x)⁴ · 6 · (2x + 1)² =

вынесем множитель 2 · (3 - x)³ · (2x + 1)²:

2 · (3 - x)³ · (2x + 1)² · (-2 · (2x - 1) + 3 · (3 - x) =

2 · (3 - x)³ · (2x + 1)² · (-4x - 2 + 9 - 3x) =

2 · (3 - x)³ · (2x + 1)² · (-7x + 7) =

-2 · 7 · (3 - x)³ · (2x + 1)² · (x - 1) =

14 · (x - 3)³ · (2x + 1)² · (x - 1)

14 · (x - 3)³ · (2x + 1)² · (x - 1) < 0

Рисуем числовую прямую, помечаем там точки -¹/₂; 1 и 3. Решаем по методу интервалов. Так как у нас есть степени, соблюдаем правило: если степень чётная, то левее точки (числа) будет такой же знак, как и правее. Если нечётная - знак меняется на противоположный.

Ответ

x ∈ (1; 3)