Всероссийская олимпиада школьников по математике.
I этап
5 класс
14.10.2020
Работа рассчитана на 90 минут
1. Жук находится в правой нижней клетке доски 6х6.
За один ход он может переползти в соседнюю (по
стороне) клетку. Существует ли путь для жука в
левую верхнюю клетку такой, что
этом пути
чередуются чёрные и белые клетки? В каждой из этих клеток жук
может побывать ровно один раз.
B
2. На танцах в субботу каждая девочка танцевала с мальчиком. При
этом восьми мальчикам пары не хватило. В воскресенье каждая
девочка привела с собой одну подругу, и теперь все мальчики
танцевали, зато двум девочкам не хватило пары. Сколько мальчиков
и сколько девочек было на танцах в субботу?
3. Как вырезать из прямоугольника 5х6 квадрат так, чтобы у
фигуры, оставшейся после удаления этого квадрата, площадь была
равна 21, а длина границы - 28?
4. В Тридевятом царстве есть закон, который гласит, что каждые два
города должны быть соединены дорогой. После того, как царь
основал пять новых городов, пришлось построить еще 100 дорог.
Сколько городов стало в Тридевятом царстве?
5. Катя написала на доске пятизначное число, сумма цифр которого
равна 2. Затем она прибавила к нему двузначное число и получила
снова пятизначное число, сумма цифр которого равна 2. Какое
число прибавляла Катя? Если ответов несколько, нужно указать все
и объяснить, почему нет других.
6. Какое наибольшее число коней можно расставить на шахматной
доске, чтобы каждый конь бил не менее трёх других?​