— число перестановок, содержащих fish. B — число перестановок, содержащих rat. C — число перестановок, содержащих bird.
Всего число перестановок букв английского алфавита 26!.
Из этого числа надо вычесть число вхождений слова fish. Слово fish состоит из 4 букв, значит остаётся ещё 22 буквы алфавита. Итого, 23!.
Вычтем число вхождений слова rat: 24!.
Вычтем число вхождений слова bird: 23!.
Формула включений-исключений для нашего примера имеет вид
|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|−|A∩B|−|B∩C|−|A∩B∩C|.
Но так как fish и bird содержат общий символ i, то

|A∩C|=∅,
а так как bird и rat содержат общий символ r, то

|B∩C|=∅,
и значит

|A∩B∩C|=∅.
Тогда остаётся только

|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|−|A∩B|
Это число строк в которых содержится или слово fish , или слово rat, или слово bird, или они вместе (вместе могут быть только fish и rat). Так как нам надо вычислить количество перестановок, где эти строки не встречаются, то вычтем всё из общего числа перестановок и получим

26!−|A|+|B|+|C|−|A∩B|=26!−23!−24!−23!+21!.