вычислиие интеграл, преобразуя подынтегральные функции . Created by xasex8. algebra-ru

Воспользуемся формулой косинуса суммы: Тогда имеем:Пусть . Тогда Пределы интегрирования:если , то если , то Переходим к новому определенному интегралу с новой переменной и пределами интегрирования:Воспользуемся формулой синуса суммы: Тогда имеем:Пусть . Тогда Пределы интегрирования:если , то если , то Переходим к новому определенному интегралу с новой переменной и пределами интегрирования:Ответ:

вычислиие интеграл, преобразуя подынтегральные функции ...

xasex8 @xasex8

November 2021 1 7 Report

вычислиие интеграл, преобразуя подынтегральные функции

Answers & Comments

nikebod313

$1) ~ \displaystyle \int\limits^{\tfrac{\pi}{18} }_{0} (\cos x \cos 2x - \sin x \sin 2x) \, dx$

Воспользуемся формулой косинуса суммы: $\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta = \cos (\alpha + \beta )$

Тогда имеем:

$\displaystyle \int\limits^{\tfrac{\pi}{18} }_{0} \cos(x + 2x) \, dx = \int\limits^{\tfrac{\pi}{18} }_{0} \cos 3x \, dx = \dfrac{1}{3} \int\limits^{\tfrac{\pi}{18} }_{0} 3 \cos 3x \, dx$

Пусть $3x = t$ . Тогда $3\, dx = dt$

Пределы интегрирования:

если $x = \dfrac{\pi}{18}$ , то $t = 3 \cdot \dfrac{\pi}{18}=\dfrac{\pi}{6}$
если $x = 0$ , то $t = 3 \cdot 0 = 0$

Переходим к новому определенному интегралу с новой переменной и пределами интегрирования:

$\displaystyle \dfrac{1}{3} \int\limits^{\tfrac{\pi}{6} }_{0} \cos t \, dt = \dfrac{1}{3} \cdot \sin t \Big|^{\tfrac{\pi}{6}}_{0} = \dfrac{1}{3} \cdot \left(\sin \frac{\pi}{6} - \sin 0 \right) = \dfrac{1}{3} \left(\frac{1}{2} - 0 \right) = \frac{1}{6}$

$2) ~ \displaystyle \int\limits^{\tfrac{\pi}{16} }_{0} (\sin x \cos 3x + \cos x \sin 3x) \, dx$

Воспользуемся формулой синуса суммы: $\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = \sin (\alpha + \beta )$

Тогда имеем:

$\displaystyle \int\limits^{\tfrac{\pi}{16} }_{0} \sin (x + 3x) \, dx = \int\limits^{\tfrac{\pi}{16} }_{0} \sin 4x \, dx = \frac{1}{4} \int\limits^{\tfrac{\pi}{16} }_{0} 4 \sin 4x \, dx$

Пусть $4x = t$ . Тогда $4\, dx = dt$

Пределы интегрирования:

если $x = \dfrac{\pi}{16}$ , то $t = 4 \cdot \dfrac{\pi}{16}=\dfrac{\pi}{4}$
если $x = 0$ , то $t = 4 \cdot 0 = 0$

Переходим к новому определенному интегралу с новой переменной и пределами интегрирования:

$\displaystyle \dfrac{1}{4} \int\limits^{\tfrac{\pi}{4} }_{0} \sin t \, dt = -\frac{1}{4} \cos t \Big|^{\tfrac{\pi}{4} }_{0} = -\frac{1}{4} \left(\cos \frac{\pi}{4} - \cos 0 \right) =$

$\displaystyle = -\frac{1}{4} \left(\frac{\sqrt{2}}{2} - 1 \right) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{2} - 2}{2} = -\frac{\sqrt{2} - 2}{8} = \frac{2 - \sqrt{2}}{8}$

$3) ~ \displaystyle \int\limits^{1,5}_{0,3} \left(\frac{1}{2} + \frac{3}{x^{2}} \right) \, dx = \int\limits^{1,5}_{0,3} \frac{dx}{2} + \int\limits^{1,5}_{0,3} 3x^{-2} \, dx =$

$= \displaystyle \left(\frac{x}{2} + 3 \cdot \frac{x^{-2+1}}{-2+1} \right) \Bigg|^{1,5}_{0,3} = \left(\frac{x}{2} - \frac{3}{x} \right) \Bigg|^{1,5}_{0,3} =$

$= \dfrac{1,5}{2} - \dfrac{3}{1,5} - \left(\dfrac{0,3}{2} - \dfrac{3}{0,3} \right) = \dfrac{3}{4} - 2 - \dfrac{3}{20} + 10 = 8\dfrac{3}{5}$

$4) ~ \displaystyle \int\limits^{-1}_{-2} \left(x - \frac{4}{x^{2}} \right) \, dx = \int\limits^{-1}_{-2} x \, dx - \int\limits^{-1}_{-2} 4x^{-2} \, dx =$

$= \left(\dfrac{x^{2}}{2} - 4 \cdot \dfrac{x^{-2+1}}{-2+1} \right)\Bigg|^{-1}_{-2} = \left(\dfrac{x^{2}}{2} + \dfrac{4}{x} \right)\Bigg|^{-1}_{-2} =$

$= \dfrac{(-1)^{2}}{2}+ \dfrac{4}{-1} - \left(\dfrac{(-2)^{2}}{2}+ \dfrac{4}{-2} \right) = \dfrac{1}{2} - 4 - 2 + 2 = -3\dfrac{1}{2}$

Ответ: $1) ~ \dfrac{1}{6}; ~~~ 2) ~ \dfrac{2 - \sqrt{2}}{8}; ~~~ 3) ~ 8\dfrac{3}{5}; ~~~ 4) ~ {-}3\dfrac{1}{2}. ~\blacktriangleleft$

3 votes Thanks 1

Answers & Comments

chto dlya esenina lyubov

spasibo bolshoe bolshoe tebe spasibo

zaranee spasibo spasibo bolshoe zaranee bolshoe spasibo

vychislite integraly preobrazuya podyntegralnye funkciif57453c2ac896970f29f0d49f49d2f80 50642

texzaranee spasibo17210c4909fb06131512dbdc762017af 13695

politicheskie vzglyady dulatuly i bajtrsynov

opredelit induktivnost kolebatelnogo kontura esli period ego kolebanij 314

texb503eb01863929d92301c93cf8b35f19 72004

esse na temu pozitivnye i negativnye posledstviya globalizacii dlya kazahstana

esse na temu pozitivnye i negativnye posledstviya globalizacii dlya kazahstana n

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social