Umasko18
Предположим, что кривая C задана векторной функцией r = r ( s ) ,
0 ≤ s ≤ S , где переменная s − длина дуги кривой. Тогда производная векторной функции d r d t = τ = ( cos α , cos β , cos γ ) представляет собой единичный вектор, направленный вдоль касательной к данной кривой (рисунок 1 ).
В приведенной выше формуле α , β и γ − углы между касательной и положительными направлениями осей O x , O y и O z , соответственно.
Рис.1 Рис.2 Введем векторную функцию F ( P , Q , R ) , определенную на кривой C , так, чтобы для скалярной функции F ⋅ τ = P cos α + Q cos β + R cos γ существовал криволинейный интеграл ∫ C
( F ⋅ τ ) d s . Такой интеграл ∫ C
( F ⋅ τ ) d s называется криволинейным интегралом второго рода от векторной функции F вдоль кривой C и обозначается как ∫ C
P d x + Q d y + R d z . Таким образом, по определению, ∫ C
P d x + Q d y + R d z = S ∫ 0
( P cos α + Q cos β + R cos γ ) d s , где τ ( cos α , cos β , cos γ ) − единичный вектор касательной к кривой C .
Последнюю формулу можно переписать также в векторной форме: ∫ C
( F ⋅ d r ) = S ∫ 0
( F ( r ( s ) ) ⋅ τ ) d s , где d r = ( d x , d y , d z ) .
Если кривая C лежит в плоскости O x y , то полагая R = 0 получаем ∫ C
P d x + Q d y = S ∫ 0
( P cos α + Q cos β ) d s .
Свойства криволинейного интеграла второго рода Криволинейный интеграл I I рода обладает следующими свойствами: Пусть C обозначает кривую с началом в точке A и конечной точкой B . Обозначим через − C кривую противоположного направления − от B к A . Тогда ∫ − C
( F ⋅ d r ) = − ∫ C
( F ⋅ d r ) ; Если C − объединение кривых C 1 и C 2 (рисунок 2 выше), то ∫ C
( F ⋅ d r ) = ∫ C 1 ∪ C 2
( F ⋅ d r ) = ∫ C 1
( F ⋅ d r ) + ∫ C 2
( F ⋅ d r ) ; Если кривая C задана параметрически в виде r ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) , α ≤ t ≤ β , то ∫ C
P d x + Q d y + R d z = β ∫ α
[ P ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) d x d t + Q ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) d y d t + R ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) d z d t ] d t . Если кривая C лежит в плоскости O x y и задана уравнением y = f ( x ) (предполагается, что R = 0 и t = x ), то последняя формула записывается в виде ∫ C
P d x + Q d y = b ∫ a
[ P ( x , f ( x ) ) + Q ( x , f ( x ) ) d f d x ] d x .
0 votes Thanks 0
kgalanchenko
спасибо канечно, а можно мне отправить это целым текстом. вы сами посмотрите, что отправили.
Answers & Comments
C
задана векторной функцией
r
=
r
(
s
)
,
0
≤
s
≤
S
,
где переменная
s
− длина дуги кривой. Тогда производная векторной функции
d
r
d
t
=
τ
=
(
cos
α
,
cos
β
,
cos
γ
)
представляет собой единичный вектор, направленный вдоль касательной к данной кривой (рисунок
1
).
В приведенной выше формуле
α
,
β
и
γ
− углы между касательной и положительными направлениями осей
O
x
,
O
y
и
O
z
,
соответственно.
Рис.1
Рис.2
Введем векторную функцию
F
(
P
,
Q
,
R
)
,
определенную на кривой
C
,
так, чтобы для скалярной функции
F
⋅
τ
=
P
cos
α
+
Q
cos
β
+
R
cos
γ
существовал криволинейный интеграл
∫
C
(
F
⋅
τ
)
d
s
.
Такой интеграл
∫
C
(
F
⋅
τ
)
d
s
называется криволинейным интегралом второго рода от векторной функции
F
вдоль кривой
C
и обозначается как
∫
C
P
d
x
+
Q
d
y
+
R
d
z
.
Таким образом, по определению,
∫
C
P
d
x
+
Q
d
y
+
R
d
z
=
S
∫
0
(
P
cos
α
+
Q
cos
β
+
R
cos
γ
)
d
s
,
где
τ
(
cos
α
,
cos
β
,
cos
γ
)
− единичный вектор касательной к кривой
C
.
Последнюю формулу можно переписать также в векторной форме:
∫
C
(
F
⋅
d
r
)
=
S
∫
0
(
F
(
r
(
s
)
)
⋅
τ
)
d
s
,
где
d
r
=
(
d
x
,
d
y
,
d
z
)
.
Если кривая
C
лежит в плоскости
O
x
y
,
то полагая
R
=
0
получаем
∫
C
P
d
x
+
Q
d
y
=
S
∫
0
(
P
cos
α
+
Q
cos
β
)
d
s
.
Свойства криволинейного интеграла второго рода
Криволинейный интеграл
I
I
рода обладает следующими свойствами:
Пусть
C
обозначает кривую с началом в точке
A
и конечной точкой
B
.
Обозначим через
−
C
кривую противоположного направления − от
B
к
A
.
Тогда
∫
−
C
(
F
⋅
d
r
)
=
−
∫
C
(
F
⋅
d
r
)
;
Если
C
− объединение кривых
C
1
и
C
2
(рисунок
2
выше), то
∫
C
(
F
⋅
d
r
)
=
∫
C
1
∪
C
2
(
F
⋅
d
r
)
=
∫
C
1
(
F
⋅
d
r
)
+
∫
C
2
(
F
⋅
d
r
)
;
Если кривая
C
задана параметрически в виде
r
(
t
)
=
(
x
(
t
)
,
y
(
t
)
,
z
(
t
)
)
,
α
≤
t
≤
β
,
то
∫
C
P
d
x
+
Q
d
y
+
R
d
z
=
β
∫
α
[
P
(
x
(
t
)
,
y
(
t
)
,
z
(
t
)
)
d
x
d
t
+
Q
(
x
(
t
)
,
y
(
t
)
,
z
(
t
)
)
d
y
d
t
+
R
(
x
(
t
)
,
y
(
t
)
,
z
(
t
)
)
d
z
d
t
]
d
t
.
Если кривая
C
лежит в плоскости
O
x
y
и задана уравнением
y
=
f
(
x
)
(предполагается, что
R
=
0
и
t
=
x
), то последняя формула записывается в виде
∫
C
P
d
x
+
Q
d
y
=
b
∫
a
[
P
(
x
,
f
(
x
)
)
+
Q
(
x
,
f
(
x
)
)
d
f
d
x
]
d
x
.