Вычислить площади фигур ограниченных кривыми. 3 задания. Created by Hn94. matematika-ru

Вычислить площади фигур ограниченных кривыми. 3 задания...

Hn94 @Hn94

July 2022 1 48 Report

Вычислить площади фигур ограниченных кривыми. 3 задания

Answers & Comments

pushpull

Ответ:

Пошаговое объяснение:

1) рисуем графики и находим пределы интегрирования по х 0<x<1

при замене переменных поменяются и пределы интегрирования

$\displaystyle S=\int\limits^1_0 {\frac{x}{(x^2+1)^2} } \, dx =\left[\begin{array}{ccc}u=x^2+1\hfill\\du=2xdx\hfill\\u_1=1\quad u_2=2\end{array}\right] =\frac{1}{2} \int\limits^2_1 {\frac{1}{u^2} } \, du =-\frac{1}{2u} \bigg |_1^2=\frac{1}{4}$

2) это уравнение эллипса с полуосями 9 и 4

$\displaystyle \frac{x^2}{9^2} +\frac{y^2}{4^2} =1$

рисуем график и находим нужную область

теперь находим пределы интегрирования

у = 2 4sint = 2 sint = 0.5 t = π/6

y= 4 4sint = 4 sint = 1 t =π/2

здесь заметим, что параметрические уравнения «прорисовывают» дугу эллипса «в противоход» оси х , а площадь фигуры считается слева направо. поэтому нижнему пределу интегрирования соответствует значение π/2, а верхнему пределу – значение π/6

поэтому мы для вычисления интеграла поменяем знак интеграла на - и пределы "перевернем"

это будет половина нужной нам области

по формуле площадей фигур для функции заданной параметрически

$\displaystyle S_1=-\int\limits^{\pi /2}_{\pi /6} {4sint*(9cost)'} \, dt=36\int\limits^{\pi /2}_{\pi /6} {sin^2t} \, dt=36 \int\limits^{\pi /2}_{\pi /6} {(\frac{1}{2}-\frac{1}{2} cos2t) } \, dt=$

дальше несложная замена переменных u=2t du=2dt с заменой пределов интегрирования u₁=π/3 u₂= π получим

$\displaystyle=-9\int\limits^\pi _{\pi /3} {cosu} \, du++18\int\limits^{\pi /2}_{\pi /6} {} \, dt=-9sinu \bigg|_{\pi /3}^\pi +18t \bigg|_{\pi /6}^{\pi /2}=\frac{9\sqrt{3} }{2} +6\pi$

и теперь умножим S₁ на 2 и получим искомую площадь

$S=9\sqrt{3} +12\pi$

это уравнение "полярной розы" с 12 лепестками

период sin6Ф

6(Ф+T) = 6Ф +6T 6Ф+6T=6Ф+2π

T= 2π/6 = π/3

тогда у нашей розы 6 одинаковых секторов (в каждом по 2 одинаковых лепестка)

сектор одного лепестка от 0 до π/6

по формуле площади криволинейного сектора рассчитем площадь одного лепестка и умножим ее на 12

$\displaystyle S_c=\int\limits^{\pi /3}_0 {sin^26\phi} \, d\phi=\left[\begin{array}{ccc}u=6\phi\\du=6d\phi\\u_1=0 \quad u_2=\pi \end{array}\right] =\frac{1}{12}\int\limits^\pi _0 {sin^2u} \, du =$

после несложных замен переменных и пределов интегрирования (s=2u ds=2du s₁ =0 s₂=2π) получим

$\displaystyle =-\frac{1}{48} \int\limits^{2\pi }_0 {cos(s)} \, ds +\frac{1}{24}\int\limits^\pi _0 {} \, du=-\frac{sins}{48} \bigg |_0^{2\pi }+\frac{u}{24} \bigg |_0^{\pi }=\frac{\pi }{24}$

и полная площадь

$\displaystyle S= S_c*12 = \frac{\pi }{2}$

2 votes Thanks 1

pushpull это про полярные координаты http://www.cleverstudents.ru/integral/area_of_parametrically_defined_figures.html

pushpull здесь тоже про полярные координаты ПРИМЕР 3 http://mathprofi.ru/ploshad_i_obyem_esli_linija_zadana_parametricheski.html

pushpull здесь для криволинейного сектора формула и раздел Примеры вычисления площади криволинейного сектора. http://www.cleverstudents.ru/integral/figures_area_in_polar_coordinates.html

Hn94 Вельми дякую. Ахахаха) Появилась мораль готовится к контрольной

pushpull а здесь просто примеры графиков ну и свои можно строить....http://grafikus.ru/examples/polar-functions

pushpull на самом деле всё просто. главное дело знать формулы и правильно найти пределы интегрирования

pushpull здесь формула связи параметрического и канонического уравнений эллипса https://math.semestr.ru/line/ellipse.php

pushpull если что не понятно, обращайтесь. -))

Hn94 Спасибо огромное ещё раз)

pushpull пожалуйста -))))

Answers & Comments

pomogite s etim integralom pozhalujsta

integral 100 ballov budu blagodaren

visha matematika znajti vkazani granici ne vikoristovuyuchi pravilo lopitalya

vyshmat pomogite s zadaniem v pozhalujsta nuzhno najti ploshad grani a1a2a3

visha matematika rozvyazati

visha matematika znajti granicyu vikoristovuyuchi ekvivalentni neskinchenno mali fu

visha matematika znajti pohidnu pershogo ta drugogo poryadku

integral 40 ballov prodolzhaem pirovat

integeraly nadeyus est te kto sharyat vychislit integraly ili dokazat ih rashozh

active to passive form pomogite pozhalujsta

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social