Вычислить пределы функций, используя I, II замечательные пределы и эквивалентнос...

MiniDen @MiniDen

July 2022 1 36 Report

Вычислить пределы функций, используя I, II замечательные пределы и эквивалентность БМФ.

Answers & Comments

Guerrino

При $\sf x \rightarrow 0$ $\sf \arcsin x \sim \sin x \sim x$ ;

Таким образом, можно переписать предел:

$\sf \lim \limits_{x\rightarrow 0}(1-\ln(1+x^{3}))^{\frac{3}{x^{3}}$ ; Удобно сделать замену: $\sf x^{3}:=\frac{1}{t}$ ; Предел получится таким:

$\sf\lim \limits_{t\to \infty}(1-\ln(\frac{t+1}{t}))^{3t}=\lim\limits_{t\to\infty}(1-\ln(\frac{1}{t})-\ln(t+1))^{3t}$ ; Воспользуемся следующим фактом: $\sf\log_{a}x \sim \frac{x}{\ln a},\; \textbf{if}\;\; x\to 0$ При этом $\sf\ln(1+x) \sim x$ ; Тогда: $\sf\lim\limits_{t\to\infty}(1-\ln(1+\frac{1}{t}))^{3t}=\lim\limits_{t\to\infty}(1-\frac{1}{t})^{3t}=\lim\limits_{t\to\infty}(\frac{t-1}{t})^{3t}=\lim\limits_{t\to\infty}(\frac{t}{t+1})^{3t}=\lim\limits_{t\to\infty}(1+\frac{1}{t})^{-3t}$ ; Последний предел очевиден: $\sf\lim\limits_{t\to\infty}((1+\frac{1}{t})^{t})^{-3}=e^{-3}$

2 votes Thanks 1

najdite obshuyu formulu zadayushuyu posledovatelnost

Answer

Answers & Comments

najdite obshuyu formulu zadayushuyu posledovatelnost

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social