Вычислить углы равнобедренного треугольника, в котором центр вписанной и описанной окружностей взаимно симметричны относительно оснований треугольника.
Введём обозначения: r - радиус вписанной окружности, R - радиус описанной окружности, а - сторона основания треугольника, в - боковая сторона треугольника, х - угол при основании треугольника. Известно, что центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис, а описанной - на пересечении срединных перпендикуляров. Имеем . Опустим перпендикуляры из центров окружностей на боковую сторону. Получим прямоугольную трапецию с основаниями r и R, вертикальная сторона равна (а/2) - (в/2), наклонная равна 2r (центры равно удаленны от основания). Острый угол трапеции равен углу х как взаимно перпендикулярный. Выразим сторону в через сторону а: . Далее имеем . Подставим в уравнение значения b и r, выраженные через а: . Решение этого уравнения даёт один из корней: . Это соответствует х = 4*(180/20) = 4*9 = 36 градусов.
Answers & Comments
Verified answer
Введём обозначения:r - радиус вписанной окружности,
R - радиус описанной окружности,
а - сторона основания треугольника,
в - боковая сторона треугольника,
х - угол при основании треугольника.
Известно, что центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис, а описанной - на пересечении срединных перпендикуляров.
Имеем
Опустим перпендикуляры из центров окружностей на боковую сторону. Получим прямоугольную трапецию с основаниями r и R, вертикальная сторона равна (а/2) - (в/2), наклонная равна 2r (центры равно удаленны от основания).
Острый угол трапеции равен углу х как взаимно перпендикулярный.
Выразим сторону в через сторону а:
Далее имеем
Подставим в уравнение значения b и r, выраженные через а:
Решение этого уравнения даёт один из корней:
Это соответствует х = 4*(180/20) = 4*9 = 36 градусов.