Выполнить действия с комплексными числами. Ответ представить в алгебраической фо...

nataliakim55 @nataliakim55

July 2022 1 4 Report

Выполнить действия с комплексными числами. Ответ представить в алгебраической форме.

Answers & Comments

rumanezzo

Verified answer

Ответ:

$z=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3} }{2}i$

Объяснение:

$z=\dfrac{\left(4+4i\sqrt{3}\right)^{14} }{2^{42}} =\dfrac{4^{14}\cdot\left(1+i\sqrt{3}\right)^{14} }{2^{42}}= \dfrac{2^{28}\cdot\left(1+i\sqrt{3}\right)^{14} }{2^{42}}=\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3} }{2} i\right)^{14}$

Возвести комплексное число в 14-ю степень удобнее, если оно представлено в тригонометрической форме:

a + bi = r · (cos α + i · sin α), где r = √(a² + b²), α = arctg(b / a)

В нашем случае:

$a=\dfrac{1}{2};\;b=\dfrac{\sqrt{3}}{2};\;r=\sqrt{\dfrac{1}{4} +\dfrac{3}{4}}=1;\;\alpha =\arctan \sqrt{3} =\dfrac{\pi}{3}$

$\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3} }{2} i=\cos\dfrac{\pi }{3} +i\sin\dfrac{\pi }{3}$

Воспользуемся формулой Муавра (для r = 1):

$\textbf{\left(\cos\alpha+i\sin\alpha\right)^n=\cos\alpha n + i\sin\alpha n}$ $\left(\cos\alpha+i\sin\alpha\right)^{n}=\cos n\alpha+i\sin n\alpha$

Получаем:

$\left(\cos\dfrac{\pi }{3} +i\sin\dfrac{\pi }{3}\right)^{14}=\cos\dfrac{14\pi }{3} +i\sin\dfrac{14\pi }{3}=\cos\left(4\pi+\dfrac{2\pi }{3}\right) +i\sin\left(4\pi+\dfrac{2\pi }{3}\right)=$

$=\cos\dfrac{2\pi }{3} +i\sin\dfrac{2\pi }{3}=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3} }{2}i$

1 votes Thanks 1

najti vse korni uravneniya i izobrazit ih na kompleksnoj ploskosti

Answer

nataliakim55 July 2022 | 0 Ответы

razlozhit mnogochlen na linejnye mnozhiteli esli iz vesten odin koren z0

Answer

Answers & Comments

Verified answer

najti vse korni uravneniya i izobrazit ih na kompleksnoj ploskosti

razlozhit mnogochlen na linejnye mnozhiteli esli iz vesten odin koren z0

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social