Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 8, а сторона основания - 12. Найти площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через центр основания и параллельной боковой грани пирамиды.
КАВСД пирамида, К-вершина, АВСД-квадрат, АВ=ВС=СД=АС=12, О-центр основания-пересечение диагоналей, КО-высота пирамиды=8, проводим МН через О параллельно СД, МН=СД=12, проводим МЛ параллельно КД (Л на АК), проводим НЕ пераллельно КС (Е на КВ), МЛ -средняя линия треугольника АКД (т.к АМ=МД а МЛ параллельна КД, то АЛ=КЛ), НЕ-средняя линия треугольника КСЕ, проводим ЛЕ-средняя линия треугольника АКВ=1/2АВ, ЛЕ=АВ/2=6,
площадь сечения равнобедренная трапеция МЛЕН, из точки О проводим перпендикуляр ОТ на АВ, ОТ=1/2АД=12/2=6, проводим апофему КТ, треугольник КОТ прямоугольный, КТ=корень(КО в квадрате+ОТ в квадрате)=корень(64+36)=10, Ф-точка пересечения ЛЕ и КТ, средняя линия ЛЕ делит КТ на 2 равные части, ФТ=КФ=1/2КТ=10/2=5, в треугольнике КОТ ОФ-медиана, в прямоугольном треугольнике медиана проведенная к гипотенузе=1/2гипотенузы, ОФ=1/2КТ=10/2=5=высота трапецииМЛЕН (если провести высоты в трапеции из точек Л и Е на МН, то отрезок ОФ соединяющий середины оснований параллелен высотам),
можно по другому высоту трапеции найти- Треугольник АКТ прямоугольный, КТ=10, АТ=6, КА=КД=корень(КТ в квадрате+АТ в квадрате)=корень(100+36)=2*корень34, МЛ=1/2КД=2*корень34/2=корень34, в трапеции проводим высоты ЛР и ЕХ на МН, РЛЕХ прямоугольник ЛЕ=РХ=6, треугольник МЛР=треугольник НЕХ как прямоугольные по гипотенузе и острому углу, МР=НХ=(МН-РХ)/2=(12-6)/2=3, треугольник МЛР прямоугольный, ЛР=ЕХ=ОФ=корень(МЛ в квадрате-МР в квадрате)=корень(34-9)=5 -высота трапеции
Answers & Comments
Verified answer
КАВСД пирамида, К-вершина, АВСД-квадрат, АВ=ВС=СД=АС=12, О-центр основания-пересечение диагоналей, КО-высота пирамиды=8, проводим МН через О параллельно СД, МН=СД=12, проводим МЛ параллельно КД (Л на АК), проводим НЕ пераллельно КС (Е на КВ), МЛ -средняя линия треугольника АКД (т.к АМ=МД а МЛ параллельна КД, то АЛ=КЛ), НЕ-средняя линия треугольника КСЕ, проводим ЛЕ-средняя линия треугольника АКВ=1/2АВ, ЛЕ=АВ/2=6,
площадь сечения равнобедренная трапеция МЛЕН, из точки О проводим перпендикуляр ОТ на АВ, ОТ=1/2АД=12/2=6, проводим апофему КТ, треугольник КОТ прямоугольный, КТ=корень(КО в квадрате+ОТ в квадрате)=корень(64+36)=10, Ф-точка пересечения ЛЕ и КТ, средняя линия ЛЕ делит КТ на 2 равные части, ФТ=КФ=1/2КТ=10/2=5, в треугольнике КОТ ОФ-медиана, в прямоугольном треугольнике медиана проведенная к гипотенузе=1/2гипотенузы, ОФ=1/2КТ=10/2=5=высота трапецииМЛЕН (если провести высоты в трапеции из точек Л и Е на МН, то отрезок ОФ соединяющий середины оснований параллелен высотам),
можно по другому высоту трапеции найти- Треугольник АКТ прямоугольный, КТ=10, АТ=6, КА=КД=корень(КТ в квадрате+АТ в квадрате)=корень(100+36)=2*корень34, МЛ=1/2КД=2*корень34/2=корень34, в трапеции проводим высоты ЛР и ЕХ на МН, РЛЕХ прямоугольник ЛЕ=РХ=6, треугольник МЛР=треугольник НЕХ как прямоугольные по гипотенузе и острому углу, МР=НХ=(МН-РХ)/2=(12-6)/2=3, треугольник МЛР прямоугольный, ЛР=ЕХ=ОФ=корень(МЛ в квадрате-МР в квадрате)=корень(34-9)=5 -высота трапеции
площадь сечения=1/2(ЛЕ+МН)*ОФ=1/2*(6+12)*5=45