Решение:

[tex](b_n)\; b_1=x-1;\; b_2=1-2x;\; b_3=x+7\\\\q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{b_3}{b_2}\\\\\frac{1-2x}{x-1}=\frac{x+7}{1-2x}\\\\(1-2x)^2=(x+7)(x-1)\\1-4x+4x^2=x^2+7x-x-7\\4x^2-4x+1=x^2+6x-7\\4x^2-x^2-4x-6x+1+7=0\\3x^2-10x+8=0\\D=(-10)^2-4*3*8=100-96=4=2^2\\x_1=(10+2)/(2*3)=12/6=2\\x_2=(10-2)/(2*3)=8/(2*3)=4/3[/tex]

[tex]x_1=2\\b_1=2-1=1;\; \; b_2=1-2*2=1-4=-3;\; \; b_3=2+7=9\\\\(b_n_1)\; 1;-3;9\\\\\\x_2=\frac{4}{3}\\b_1=\frac{4}{3}-1=\frac{1}{3};\; \; b_2=1-2*\frac{4}{3}=1-\frac{8}{3}=-\frac{5}{3}=-1\frac{2}{3} ;\; \; b_3=\frac{4}{3}+7=1\frac{1}{3}+7=8\frac{1}{3}\\\\(b_n_2)\; \; \frac{1}{3};\;-1\frac{2}{3};\; 8\frac{1}{3}[/tex]

При каком значении х значения выражений x-1; 1-2x; x+7 будут являться последовательными членами геометрической прогрессии? Найти эти члены.

По свойству геометрической прогрессии отношения последующего члена к предыдущему равны:

(1-2x) /(x-1) = (x+7) / (1-2x),

(1-2x)² = (x-1)*(x+7),

1 – 4x + 4x² = x² - x + 7x – 7,

3x² - 10x + 8 = 0.

Ищем дискриминант:

D=(-10)^2-4*3*8=100-4*3*8=100-12*8=100-96=4;

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

x_1=(2root4-(-10))/(2*3)=(2-(-10))/(2*3)=(2+10)/(2*3)=12/(2*3)=12/6=2;

x_2=(-2root4-(-10))/(2*3)=(-2-(-10))/(2*3)=(-2+10)/(2*3)=8/(2*3)=8/6=4/3 ≈ 1.3333.

Поэтому имеем 2 решения:

1) 2-1 = 1

  1-2x = 1 - 2*2 = 3

   x+7 = 2 + 7 = 9.          к = 3

2) x-1 = (4/3) - 1 =  1/3

   1-2x = 1 -2*(4/3) = -5/3

    x+7 = (4/3) + 7 = 25/3      к = -5