Решение:

|x-1|+|2-x|=1

|x-1|+|x-2|=1

x-1=0     x-2=0

x=1         x=2

_______1_______2_______

Раскрываем модули на каждом из трёх промежутков:

1) x < 1

 -(x-1)-(x-2)=1

 -x+1-x+1=1

 -2x+2=1

 -2x=-1

 x=-1:(-2)

 x=0,5 ∈(-∞;1)

 x=0,5 - корень уравнения

2) 1 ≤ x < 2

  +(x-1)-(x-2)=1

   x-1-x+2=1

   0*x+1=1

   0*x=0

    x - любое число из промежутка [1;2)

    x∈ [1;2)

3) x ≥ 2

  +(x-1)+(x-2)=1

    x-1+x-2=1

    2x-3=1

    2x=4

    x=2 ∈ [2;+∞)

    x=2 - корень уравнения

x∈ {0,5}∪[1;2)∪{2}

x∈{0,5}∪[1;2]

Ответ: {0,5}∪[1;2]