Ответ:  x ∈ {-1;0}

Объяснение:

[tex](1+x+x^2)(1+x+x^2+\ldots +x^{10})=(1+x+x^2+\ldots +x^6)^2[/tex]

Домножим обе части на (x-1)²

При этом, подстановкой  x = 1, убеждаемся что 1 не является корнем данного уравнения, поскольку правая часть уравнения полный квадрат, а левая нет

(1 + 1 +1²)(1 + 1² + ... + 1¹⁰) = 3·10 =30 ≠ k² ,  k ∈ N

Соответственно :

[tex](1+x+x^2)(x-1)(1+x+x^2+\ldots +x^{10})(x-1)=(1+x+x^2+\ldots +x^6)^2(x-1)^2 \\\\ (x^3 -1)(x^{11} -1) = (x^7 -1)^2 \\\\ x^{14} -x^{11} -x^3 + 1 = x^{14} -2x^7 + 1 \\\\ x^{11 }-2x^7 +x^3 =0 \\\\ x^3 (x^8 - 2x^4 + 1) = 0\\\\ x^3(x^4 -1)^2 =0 \\\\\ x^3 ((x-1)(x+1))^2(x^2 +1)^2 = 0 \Rightarrow x _1= 0 ~~ , ~~ x _2 =- 1[/tex]