1 действием всегда все переносим в левую часть

|x-4|-5>=0
Далее записываем в виде уравнения приравнивая к нулю

|X-4|-5=0
Теперь имеет право раскраывать модуль.
Отойду от темы - |a+b| может быть как a+b, а может и как -a-b ( В уравнениях)

Далее допустим две ситуации

X>=4

При этом раскрываем модуль без изменений

X-4-5=0

X=9

Теперь если X<4

-X+4-5=0

X=-1

Теперь чертим прямую числовую и отмечаем там -1 9 ЗАКРАШЕННЫМИ ТОЧКАМИ(тк нестрогое равенство)

------------O----------------------O------------->

               .-1                           9

Делаем такие полуовалы наверху(промежутки) и теперь нам нужно узнать, какой там знак.

Делаем это подставлением любого числа из промежутка

Вспоминаем

|X-4|-5=0

Подставляем из самого правого - 10

|10-4|-5 
Очевидно больше нуля, значит промежуток [9;+oo) - положительный

Второй промежуток - возьму 4.

|4-4|-5=0

Промежуток 2 отрицательный [-1;9];

Промежуток 3. Беру -4

|-4-4|-5

Это больше нуля
Значит промежуток 3 положительный (-oo;-1]

Далее смотрим на самое первое дано

|x-4|-5>=0

Нас просили БОЛЬШЕ ИЛИ РАВНО.

В ответ пишем, какие промежутки больше нуля

Ответ: (-oo;-1] U [9;+oo);

От себя: Советую всегда проверять знаки.. В школе они у вас чередуются, а вот в 10+ классах и олимпиадах - бывает и нет :)

Удачи